8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2017 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2017
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2017 год


Вариант 2



  1. Упростите выражение и найдите его значение при \(x = -0{,}2\); \(y = 0{,}3\): \[ \frac{(-6xy)^2 (2x^2 y^3)^4}{-8x^3 y^4\,(-3x^3 y^2)^3}. \]
  2. Решите уравнение: \[ (x - (4 - x))(x + (4 + x)) = (x - (3 - x))^2 + 8. \]
  3. Имеется два сплава с разным содержанием золота: в первом содержится \(40\%\), во втором — \(75\%\) золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий \(65\%\) золота?
  4. Внешний угол треугольника \(ABC\) при вершине \(B\) в 2 раза больше угла \(BCA\), при этом угол \(ABC\) в 4 раза меньше угла \(BAC\). Найдите углы, на которые высота \(AH\) делит угол \(BAC\).
  5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} y^3 - y^2 x + y - x = 1 + y^2,\\ x - 3 = 3 - y. \end{cases} \]
  6. [Логика]
  7. На доске выписаны числа от 1 до 2582. Каждую минуту каждое число подвергается следующей операции: если число делится на 50, то его делят на 50; если же не делится, то из него вычитают 1. Найдите наибольшее среди чисел через 39 минут. Ответ объясните.
  8. Из бумажного прямоугольника \(12\times 19\) вырезали по клеточкам несколько квадратов, причём любые два из них имеют разные размеры. Какое наибольшее количество квадратов могло быть получено? Ответ объясните.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \frac{(-6xy)^2 (2x^2 y^3)^4}{-8x^3 y^4\,(-3x^3 y^2)^3}. \] Решение:
    Упростим выражение поэтапно.
    1. Числитель: $(-6xy)^2 (2x^2 y^3)^4$
      $(-6xy)^2 = 36x^2y^2$, $(2x^2 y^3)^4 = 16x^8y^{12}$
      Перемножаем: $36 \cdot 16 = 576$, $x^{2+8} = x^{10}$, $y^{2+12} = y^{14}$.
      Получим: $576x^{10}y^{14}$.
    2. Знаменатель: $-8x^3 y^4 \cdot (-3x^3 y^2)^3$
      $(-3x^3 y^2)^3 = -27x^9y^6$
      Умножаем на $-8x^3 y^4$: $-8 \cdot (-27) = 216$, $x^{3+9} = x^{12}$, $y^{4+6} = y^{10}$.
      Получим: $216x^{12}y^{10}$.
    3. Сократим дробь: \[ \frac{576x^{10}y^{14}}{216x^{12}y^{10}} = \frac{576}{216} \cdot \frac{y^{4}}{x^{2}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{y^{4}}{x^{2}}. \]
    4. Подставляем $x=-0{,}2$, $y=0{,}3$: \[ \frac{8 \cdot (0{,}3)^4}{3 \cdot (-0{,}2)^2} = \frac{8 \cdot 0{,}0081}{3 \cdot 0{,}04} = \frac{0{,}0648}{0{,}12} = 0{,}54. \]
    Ответ: $\boxed{0{,}54}.$
  2. Решите уравнение: \[ (x - (4 - x))(x + (4 + x)) = (x - (3 - x))^2 + 8. \] Решение:
    1. Упростим левую часть: \[ (x - 4 + x)(x + 4 + x) = (2x - 4)(2x + 4) = (2x)^2 - 4^2 = 4x^2 - 16. \]
    2. Упростим правую часть: \[ (x - 3 + x)^2 + 8 = (2x - 3)^2 + 8 = 4x^2 - 12x + 9 + 8 = 4x^2 - 12x + 17. \]
    3. Приравняем и решим уравнение: \[ 4x^2 - 16 = 4x^2 - 12x + 17 \implies -16 = -12x + 17 \implies -33 = -12x \implies x = \frac{33}{12} = \frac{11}{4}. \]
    Ответ: $\boxed{2{,}75} или \boxed{\frac{11}{4}}$.
  3. Сплав с $40\%$ и $75\%$ золота смешивают для получения $65\%$ сплава. Найдите отношение. Решение:
    Пусть масса первого сплава – $x$, второго – $y$. Золото в новом сплаве: \[ 0{,}4x + 0{,}75y = 0{,}65(x + y) \implies 0{,}1y = 0{,}25x \implies \frac{x}{y} = \frac{2}{5}. \] Ответ: $\boxed{2:5}.$
  4. В треугольнике $ABC$ внешний угол при $B$ вдвое больше $\angle BCA$, угол $ABC$ в 4 раза меньше $\angle BAC$. Найдите углы, на которые высота $AH$ делит $\angle BAC$. Решение:
    1. Обозначим $\angle BCA = \gamma$, тогда внешний угол при $B = 2\gamma$. Внешний угол равен сумме двух других: \[ 2\gamma = \angle BAC + \gamma \implies \angle BAC = \gamma. \]
    2. По условию $\angle BAC = 4 \cdot \angle ABC \implies \gamma = 4\beta$. Сумма углов: \[ \gamma + \beta + \gamma = 180^\circ \implies \beta = 20^\circ, \, \gamma = 80^\circ. \]
    3. Высота $AH$ делит $\angle BAC = 80^\circ$ на два угла. В прямоугольном $\triangle ABH$: \[ \angle BAH = 90^\circ - \angle ABC = 70^\circ, \, \angle HAC = 10^\circ. \]
    Ответ: $\boxed{70^\circ} и \boxed{10^\circ}.$
  5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} y^3 - y^2 x + y - x = 1 + y^2,\\ x - 3 = 3 - y. \end{cases} \] Решение:
    1. Из второго уравнения: $x = 6 - y$.
    2. Подставляем в первое уравнение: \[ y^3 - y^2(6 - y) + y - (6 - y) = 1 + y^2 \implies 2y^3 - 7y^2 + 2y - 7 = 0. \]
    3. Факторизуем: $(2y - 7)(y^2 + 1) = 0 \implies y = \frac{7}{2}$.
    4. Окончательные решения: $y = 3{,}5$, $x = 2{,}5$.
    Ответ: $\boxed{\left(\frac{5}{2}; \frac{7}{2}\right)}.$
  6. [Логика]
  7. Через 39 минут наибольшее число получается из числа 1250. Решение:
    1. Максимальное число после операций достигается путем минимизации деления.
    2. Число 1250 делится на 50 пять раз: ${1250 \to 25 \to 0{,}5 \to \dots}$. Однако стартуя с числа 1250 можно получить максимальное значение после 39 операций.
    Ответ: $\boxed{1250}$.
  8. Наибольшее количество квадратов — 18. Решение:
    1. Максимальное число разных квадратов из прямоугольника $12 \times 19$ достигается вырезанием квадратов размера 1x1, 2x2, …, пока позволяет площадь.
    2. Фактически можно получить квадраты до размера 12x12 (1 шт.), оставшуюся площадь использовать для меньших квадратов.
    Ответ: $\boxed{18}$.
Материалы школы Юайти