8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2017 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2017
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2017 год


Вариант 1





  1. Упростите выражение и найдите его значение при \(x = -0{,}3\); \(y = 0{,}2\): \[ \frac{(-3xy)^4 (2x^2 y^3)^3}{-4x^4 y^5\,(-6x^4 y^2)^2}. \]
  2. Решите уравнение: \[ (x - (3 - x))(x + (3 + x)) = (x - (5 - x))^2 + 9. \]
  3. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится \(70\%\), во втором — \(40\%\) меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий \(50\%\) меди?
  4. Внешний угол треугольника \(ABC\) при вершине \(B\) в 2 раза больше угла \(BAC\), при этом угол \(ABC\) в 2,5 раза меньше угла \(BCA\). Найдите углы, на которые высота \(CH\) делит угол \(BCA\).
  5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x^3 - x^2 y + x - y = 1 + x^2,\\ x - 2 = 2 - y. \end{cases} \]
  6. [Логика.]
  7. На доске выписаны числа от 1 до 3146. Каждую минуту каждое число подвергается следующей операции: если число делится на 100, то его делят на 100; если же не делится, то из него вычитают 1. Найдите наибольшее среди чисел через 73 минуты. Ответ объясните.
  8. Из бумажного прямоугольника \(10 \times 16\) вырезали по клеточкам несколько квадратов, причём любые два из них имеют разные размеры. Какое наибольшее количество квадратов могло быть получено? Ответ объясните.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач

  1. Упростите выражение и найдите его значение при \(x = -0{,}3\); \(y = 0{,}2\): \[ \frac{(-3xy)^4 (2x^2 y^3)^3}{-4x^4 y^5\,(-6x^4 y^2)^2} \]
    Решение: Раскроем степени в числителе и знаменателе: \[ \frac{81x^4 y^4 \cdot 8x^6 y^9}{-4x^4 y^5 \cdot 36x^8 y^4} = \frac{648x^{10}y^{13}}{-144x^{12}y^9} = -\frac{648}{144} \cdot \frac{y^{4}}{x^{2}} = -4{,}5 \cdot \frac{y^4}{x^2} \] Подставим значения \(x = -0{,}3\), \(y = 0{,}2\): \[ -4{,}5 \cdot \frac{(0{,}2)^4}{(-0{,}3)^2} = -4{,}5 \cdot \frac{0{,}0016}{0{,}09} = -4{,}5 \cdot \frac{16}{900} = -4{,}5 \cdot \frac{4}{225} = -0{,}08 \] Ответ: \(-0{,}08\).

  2. Решите уравнение: \[ (x - (3 - x))(x + (3 + x)) = (x - (5 - x))^2 + 9 \]
    Решение: Упростим обе части: \[ (2x - 3)(2x + 3) = (2x - 5)^2 + 9 \] \[ 4x^2 - 9 = 4x^2 - 20x + 25 + 9 \] Сократим \(4x^2\): \[ -9 = -20x + 34 \quad \Rightarrow \quad 20x = 43 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{43}{20} = 2{,}15 \] Ответ: \(2{,}15\).

  3. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом \(70\%\), во втором — \(40\%\) меди. В каком отношении надо взять сплавы, чтобы получить сплав с \(50\%\) меди?
    Решение: Используем правило смешивания («правило креста»). Разность между концентрациями: \[ 70 - 50 = 20 \quad \text{и} \quad 50 - 40 = 10 \] Соотношение первого сплава ко второму: \[ 10 : 20 = 1 : 2 \] Ответ: \(1 : 2\).

  4. Угол при вершине \(B\) треугольника \(ABC\) в 2 раза больше угла \(BAC\), а угол \(ABC\) в 2,5 раза меньше угла \(BCA\). Найдите углы, на которые высота \(CH\) делит угол \(BCA\).
    Решение: Пусть \(\angle BAC = \alpha\), тогда внешний угол при \(B\) равен \(2\alpha\). Сумма углов треугольника: \[ \begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \\ \gamma = 2{,}5\beta \\ 2\alpha = \alpha + \gamma \quad \Rightarrow \quad \alpha = \gamma \end{cases} \] Подстановка \(\gamma = 2{,}5\beta\) и \(\alpha = \gamma\): \[ 2{,}5\beta + \beta + 2{,}5\beta = 6\beta = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad \beta = 30^\circ, \, \alpha = \gamma = 75^\circ \] В треугольнике \(HBC\) углы: \[ \angle HBC = 30^\circ, \, \angle BHC = 90^\circ \quad \Rightarrow \quad \angle HCB = 60^\circ \] Оставшийся угол: \[ \angle ACB - \angle HCB = 75^\circ - 60^\circ = 15^\circ \] Ответ: \(60^\circ\) и \(15^\circ\).

  5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x^3 - x^2 y + x - y = 1 + x^2, \\ x - 2 = 2 - y \end{cases} \]
    Решение: Из второго уравнения выразим \(y = 4 - x\). Подставим в первое уравнение: \[ x^3 - x^2(4 - x) + x - (4 - x) = 1 + x^2 \] Упростим: \[ 2x^3 - 5x^2 + 2x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 3)(2x^2 + 2) = 0 \] Корень \(x = 3\), тогда \(y = 1\). Ответ: \((3; 1)\).

  6. На доске выписаны числа от 1 до 3146. Каждую минуту каждое число убывает на 1 или делится на 100, если делится. Найдите наибольшее число через 73 минуты.
    Решение: Наибольшим будет число, которое не делилось на 100 за все 73 операции. Его значение: \[ 3146 - 73 = 3073 \] Любое число, которое делится на 100 за некоторые шаги, становится меньше \(3073\). Ответ: 3073.

  7. Максимальное количество квадратов различного размера из прямоугольника \(10 \times 16\):
    Решение: Максимальное число — 7 квадратов (размеры 1х1, 2х2, ..., 7х7). Их суммарная площадь: \[ 1^2 + 2^2 + ... +7^2 = 140 \quad (\text{остаток площади }20) \] Больше квадратов невозможно вписать без повторений размеров. Ответ: 7.
Материалы школы Юайти