8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2016 год вариант 7.1

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Сложность:
Дата экзамена: 2016
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2016 год


Вариант 7.1



Часть 1. Математика

  1. Составьте уравнение прямой, график которой проходит через точки: $\mathrm{A}(5 ; 5)$ и $\mathrm{B}(-10 ;-19)$. И постройте её график.
    1. $y=1,6 x+3$
    2. $y=1,6 x-3$
    3. $y=3 x-10$
    4. $y=-3 x-10$
  2. Вычислите $\frac{6,62^{2}+5,4 \cdot 3,38+1,22 \cdot 3,38}{20,1^{2}-13^{2}+33,1 \cdot 12,9}$
    1. 1
    2. 10
    3. 0,01
    4. 0,1
  3. Решить уравнение $(12 x+5)^{2}-(8 x-1)^{2}-(10 x+7)(8 x+3)=$ 78
    1. $-1,5$
    2. 3
    3. 1,5
    4. 25
  4. Два цеха должны были выпустить вместе по плану 180 станков. Первый цех выполнил план на $112 \%$, а второй - на $110 \%$, и поэтому оба цеха вместе выпустили 200 станков.Сколько станков по плану должен был выпустить первый цех?
    1. 80
    2. 100
    3. 160
    4. 140
  5. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна стороне треугольника. Найти углы данного треугольника.
    Часть 2. Логика
  6. Как разложить 8 монет в центры клеток доски $4 \times 4$, чтобы ни на какой прямой не лежали 3 монеты (монеты считать точечными)?
  7. Александр, Борис и Виктор решили 100 задач, причем каждый из них решил 60 задач. Назовем задачу «трудной», если ее решил только один из мальчиков, и «легкой», если ее решили все три мальчика. Докажите, что мтрудных» задач на 20 больше, чем «легких".
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Составьте уравнение прямой, график которой проходит через точки: $\mathrm{A}(5 ; 5)$ и $\mathrm{B}(-10 ;-19)$. И постройте её график.
    Решение: Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Найдем угловой коэффициент:
    $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-19 - 5}{-10 - 5} = \frac{-24}{-15} = 1,6$
    Подставим координаты точки A для нахождения $b$:
    $5 = 1,6 \cdot 5 + b \Rightarrow b = 5 - 8 = -3$
    Уравнение прямой: $y = 1,6x - 3$
    Ответ: вариант 2.

  2. Вычислите $\frac{6,62^{2}+5,4 \cdot 3,38+1,22 \cdot 3,38}{20,1^{2}-13^{2}+33,1 \cdot 12,9}$
    Решение: Упростим числитель и знаменатель:
    Числитель: $6,62^2 + 3,38(5,4 + 1,22) = 6,62(6,62 + 3,38) = 6,62 \cdot 10 = 66,2$
    Знаменатель: $(20,1 - 13)(20,1 + 13) + 33,1 \cdot 12,9 = 7,1 \cdot 33,1 + 33,1 \cdot 12,9 = 33,1(7,1 + 12,9) = 33,1 \cdot 20 = 662$
    Результат: $\frac{66,2}{662} = 0,1$
    Ответ: вариант 4.

  3. Решить уравнение $(12 x+5)^{2}-(8 x-1)^{2}-(10 x+7)(8 x+3)=78$
    Решение: Раскроем скобки и упростим:
    $(144x^2 + 120x + 25) - (64x^2 - 16x + 1) - (80x^2 + 86x + 21) = 78$
    $144x^2 + 120x + 25 - 64x^2 + 16x - 1 - 80x^2 - 86x - 21 = 78$
    $(144x^2 - 64x^2 - 80x^2) + (120x + 16x - 86x) + (25 - 1 - 21) = 78$
    $0x^2 + 50x + 3 = 78 \Rightarrow 50x = 75 \Rightarrow x = 1,5$
    Ответ: вариант 3.

  4. Два цеха должны были выпустить вместе по плану 180 станков. Первый цех выполнил план на $112 \%$, а второй - на $110 \%$, и поэтому оба цеха вместе выпустили 200 станков. Сколько станков по плану должен был выпустить первый цех?
    Решение: Пусть первый цех по плану выпускал $x$ станков, тогда второй — $(180 - x)$.
    Уравнение: $1,12x + 1,1(180 - x) = 200$
    $1,12x + 198 - 1,1x = 200 \Rightarrow 0,02x = 2 \Rightarrow x = 100$
    Ответ: вариант 2.

  5. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна стороне треугольника. Найти углы данного треугольника.
    Решение: Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный ($AB = BC$), $BD$ — биссектриса $\angle ABC$, равная $AB$. В $\triangle ABD$ ($AB = BD$) углы при основании равны: $\angle BAD = \angle BDA = \frac{\alpha}{2}$, где $\alpha$ — угол при вершине. Из суммы углов треугольника: $\alpha + 2 \cdot 40^\circ = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 100^\circ$. Углы: $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.
    Ответ: $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.

  6. Как разложить 8 монет в центры клеток доски $4 \times 4$, чтобы ни на какой прямой не лежали 3 монеты (монеты считать точечными)?
    Решение: Пример расположения:

    Ни одна горизонталь, вертикаль или диагоаль не содержит трёх монет.

  7. Александр, Борис и Виктор решили 100 задач, причем каждый из них решил 60 задач. Назовем задачу «трудной», если ее решил только один из мальчиков, и «легкой», если ее решили все три мальчика. Докажите, что трудных задач на 20 больше, чем легких.
    Решение: Пусть $L$ — количество лёгких задач, $T$ — трудных. Общее количество решений: $3 \cdot 60 = 180$. Используем принцип включения-исключения:
    $3L + 2(100 - L - T) + T = 180 \Rightarrow L + T = 20 \Rightarrow T - L = 20$
    Что и требовалось доказать.
Материалы школы Юайти