8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2016 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2016 год


Вариант 1



  1. Вычислить \[ \bigl(-5{,}17 : 1\tfrac{3}{4} + 1{,}67 \cdot \tfrac{4}{7}\bigr)\;\cdot\;\bigl(-1\tfrac{1}{11}\bigr). \]
  2. Найдите число $y$ и увеличьте его на 500% \[ -\frac{3y}{4} - 5\bigl(-\tfrac{y}{2} + \tfrac{1}{2}\bigr) = -\bigl(-y - \tfrac{7y}{12}\bigr) + \bigl(-\tfrac{y}{6} - \tfrac{2}{3}\bigr). \]
  3. Графики функций $y=(4-a)x + a$ и $y = ax - 2$ пересекаются в точке с абсциссой $-2$. Найдите произведение абсциссы и ординаты точки пересечения.
  4. Две бригады, работая вместе, могут закончить уборку урожая за 8~дней. Если первая бригада будет работать 3~дня, а вторая 12~дней, то они выполнят 75% всей работы. За сколько дней может закончить уборку урожая каждая бригада, работая отдельно?
  5. В треугольнике два угла относятся как $3:4$, а третий угол больше самого меньшего угла на $20^\circ$. Найдите углы треугольника.
    Часть II. Логика
  6. Как при помощи только 5‑литрового и 9‑литрового ведра набрать из реки 3 литра воды?
  7. В моём классе 30 человек. Фраза «Ровно 15 человек из них ежедневно делают зарядку» означает:
    • [A)] Ежедневно ровно 15 человек делают зарядку
    • [B)] Ровно 15 человек никогда не делают зарядку
    • [C)] Ровно 15 человек, если и делают зарядку, то не каждый день
    • [D)] Ежедневно ровно 15 человек не делают зарядку
    • [E)] Ежедневно происходит следующее: 15 человек делают зарядку, а 15— не делают
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \left(-5{,}17 : 1\frac{3}{4} + 1{,}67 \cdot \frac{4}{7}\right) \cdot \left(-1\frac{1}{11}\right). \]
    Решение:
    Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
    $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ и $1\frac{1}{11} = \frac{12}{11}$.
    Выполним деление: $-5{,}17 : \frac{7}{4} = -5{,}17 \cdot \frac{4}{7} = -\frac{517}{100} \cdot \frac{4}{7} = -\frac{2068}{700} = -\frac{517}{175}$.
    Выполним умножение: $1{,}67 \cdot \frac{4}{7} = \frac{167}{100} \cdot \frac{4}{7} = \frac{668}{700} = \frac{167}{175}$.
    Сумма внутри скобок: $-\frac{517}{175} + \frac{167}{175} = -\frac{350}{175} = -2$.
    Умножим на $\frac{12}{11}$: $-2 \cdot \left(-\frac{12}{11}\right) = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11}$.
    Ответ: $2\frac{2}{11}$.

  2. Найдите число $y$ и увеличьте его на 500%: \[ -\frac{3y}{4} - 5\left(-\frac{y}{2} + \frac{1}{2}\right) = -\left(-y - \frac{7y}{12}\right) + \left(-\frac{y}{6} - \frac{2}{3}\right). \]
    Решение:
    Упростим обе части уравнения:
    Левая часть: $-\frac{3y}{4} + \frac{5y}{2} - \frac{5}{2} = \frac{7y}{4} - \frac{5}{2}$.
    Правая часть: $y + \frac{7y}{12} - \frac{y}{6} - \frac{2}{3} = \frac{17y}{12} - \frac{2}{3}$.
    Приравниваем: $\frac{7y}{4} - \frac{5}{2} = \frac{17y}{12} - \frac{2}{3}$.
    Решаем уравнение: $\frac{7y}{4} - \frac{17y}{12} = -\frac{2}{3} + \frac{5}{2}$, что сводится к $\frac{y}{3} = \frac{11}{6}$, откуда $y = \frac{11}{2} = 5{,}5$.
    Увеличение на 500%: $5{,}5 \cdot 6 = 33$.
    Ответ: 33.

  3. Графики функций $y=(4-a)x + a$ и $y = ax - 2$ пересекаются при $x = -2$.
    Решение:
    Подставим $x = -2$ в оба уравнения и приравняем: $(4 - a)(-2) + a = a \cdot (-2) - 2$.
    Упростим: $-8 + 2a + a = -2a - 2$ ⇒ $5a = 6$ ⇒ $a = \frac{6}{5}$.
    Найдем ординату пересечения: $y = \frac{6}{5} \cdot (-2) - 2 = -\frac{22}{5}$.
    Произведение координат: $-2 \cdot \left(-\frac{22}{5}\right) = \frac{44}{5} = 8{,}8$.
    Ответ: $8{,}8$.

  4. Работа бригад:
    Решение:
    Пусть первая бригада выполняет работу за $x$ дней, вторая — за $y$ дней. Тогда: \[\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \\ \frac{3}{x} + \frac{12}{y} = \frac{3}{4} \end{cases}\]
    Решая систему, из первого уравнения выразим $y = \frac{8x}{x - 8}$.
    Подставим во второе уравнение: $\frac{3}{x} + \frac{12(x - 8)}{8x} = \frac{3}{4}$ ⇒ $\frac{3}{x} + \frac{3(x - 8)}{2x} = \frac{3}{4}$ ⇒ $x = 12$, $y = 24$.
    Ответ: 12 дней и 24 дня.

  5. Углы треугольника:
    Решение:
    Пусть два угла относятся как 3:4 ⇒ $3k$ и $4k$. Третий угол: $3k + 20^\circ$.
    Сумма углов: $3k + 4k + (3k + 20^\circ) = 10k + 20^\circ = 180^\circ$ ⇒ $k = 16^\circ$.
    Углы: $48^\circ$, $64^\circ$, $68^\circ$.
    Ответ: $48^\circ$, $64^\circ$, $68^\circ$.

  6. Набрать 3 литра воды:
    Решение:
    1. Наполнить 9-литровое ведро.
    2. Перелить в 5-литровое → остаток 4 литра в 9-литровом.
    3. Опустошить 5-литровое.
    4. Перелить 4 литра из 9-литрового в 5-литровое.
    5. Наполнить 9-литровое снова.
    6. Долить из 9-литрового в 5-литровое 1 литр → остаток 8 литров в 9-литровом.
    7. Опустошить 5-литровое.
    8. Перелить 8 литров из 9-литрового в 5-литровое, остаток: 3 литра.


  7. Интерпретация фразы:
    Ответ: E (Ежедневно ровно 15 человек делают зарядку, а остальные 15 — нет).
Материалы школы Юайти