Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2015 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2015 год

Вариант 1

1. Упростите выражение \[ \frac{(-1{,}5x^2y)^3(2xy)^4}{(6x^3y^2)^2} \] и найдите его значение, если \(x=-2\), \(y=-\tfrac15\).
2. Найдите все значения \(x\), удовлетворяющие равенству \[ (3 - 4x)^2 - \tfrac13(2 + 3x)(3x - 2) = 13x^2 - \tfrac23. \]
3. Графики функций \(y = (4 - a)x + a\) и \(y = ax - 2\) пересекаются в точке с абсциссой, равной \(-2\). Найдите произведение абсциссы и ординаты точки пересечения.
4. Смешали два раствора кислоты. В первом растворе было \(10\%\) кислоты, во втором — \(40\%\) кислоты, а в смеси получилось \(15\%\) кислоты. Найдите отношение массы первого раствора к массе второго раствора.
5. В треугольнике \(ABC\) углы \(B\) и \(C\) относятся как \(5:3\), а угол \(A\) на \(50\%\) меньше их суммы. Найдите углы, на которые высота треугольника \(AD\) разбивает угол \(A\).

1. Сумма двух двузначных чисел равна 147. Оба числа записали в обратном порядке и сложили. Какая сумма могла получиться? Приведите все возможные ответы.
2. Верно ли, что все корни уравнения \[ \frac{x - ab}{a + b} + \frac{x - bc}{b + c} + \frac{x - ca}{c + a} = a + b + c, \] где \(a,b,c\) — данные натуральные числа, являются целыми числами?

Решения задач

1. Упростите выражение \[ \frac{(-1{,}5x^2y)^3(2xy)^4}{(6x^3y^2)^2} \] и найдите его значение, если \(x=-2\), \(y=-\tfrac15\).
   Решение:
   Сначала упростим числовые коэффициенты и переменные отдельно. Возведём все множители в степени: \[ \frac{(-1{,}5)^3 \cdot x^6 \cdot y^3 \cdot 2^4 \cdot x^4 \cdot y^4}{6^2 \cdot x^6 \cdot y^4} = \frac{-3{,}375 \cdot 16 \cdot x^{10} \cdot y^7}{36 \cdot x^6 \cdot y^4} = \frac{-54 \cdot x^4 \cdot y^3}{36} = -1{,}5x^4y^3 \] Подставим \(x = -2\) и \(y = -\tfrac15\): \[ -1{,}5 \cdot (-2)^4 \cdot \left(-\tfrac{1}{5}\right)^3 = -1{,}5 \cdot 16 \cdot \left(-\tfrac{1}{125}\right) = \frac{24}{125} = 0{,}192 \] Ответ: \(\frac{24}{125}\).
2. Найдите все значения \(x\), удовлетворяющие равенству \[ (3 - 4x)^2 - \tfrac13(2 + 3x)(3x - 2) = 13x^2 - \tfrac23 \]
   Решение:
   Раскроем квадраты и упростим уравнение: \[ 9 - 24x + 16x^2 - \tfrac13(9x^2 - 4) = 13x^2 - \tfrac23 \] \[ 9 - 24x + 16x^2 - 3x^2 + \tfrac43 = 13x^2 - \tfrac23 \] \[ 9 + \tfrac43 - 24x + 13x^2 = 13x^2 - \tfrac23 \] Переносим все члены с \(x\) влево, остальные — вправо: \[ -24x + \tfrac{31}{3} = -\tfrac23 \] \[ -24x = -\tfrac33 - \tfrac{31}{3} = -\tfrac{33}{3} = -11 \] \[ x = \frac{11}{24} \] Ответ: \(\frac{11}{24}\).
3. Графики функций \(y = (4 - a)x + a\) и \(y = ax - 2\) пересекаются в точке с абсциссой, равной \(-2\). Найдите произведение абсциссы и ординаты точки пересечения.
   Решение:
   При \(x = -2\) значения функций равны: \[ (4 - a)(-2) + a = a \cdot (-2) - 2 \] \[ -8 + 2a + a = -2a - 2 \] \[ 5a = 6 \quad \Rightarrow \quad a = \tfrac65 \] Найдём ординату точки пересечения: \[ y = \tfrac65 \cdot (-2) - 2 = -\tfrac{12}{5} - \tfrac{10}{5} = -\tfrac{22}{5} \] Произведение координат точки пересечения: \[ (-2) \cdot \left(-\tfrac{22}{5}\right) = \tfrac{44}{5} \] Ответ: \(\frac{44}{5}\).
4. Смешали два раствора кислоты. В первом растворе было \(10\%\) кислоты, во втором — \(40\%\) кислоты, а в смеси получилось \(15\%\) кислоты. Найдите отношение массы первого раствора к массе второго раствора.
   Решение:
   Пусть массы растворов равны \(m_1\) и \(m_2\). Составим уравнение по содержанию кислоты: \[ 0{,}1m_1 + 0{,}4m_2 = 0{,}15(m_1 + m_2) \] \[ 0{,}1m_1 + 0{,}4m_2 = 0{,}15m_1 + 0{,}15m_2 \] \[ 0{,}25m_2 = 0{,}05m_1 \quad \Rightarrow \quad \frac{m_1}{m_2} = 5 \] Ответ: \(5 : 1\).
5. В треугольнике \(ABC\) углы \(B\) и \(C\) относятся как \(5:3\), а угол \(A\) на \(50\%\) меньше их суммы. Найдите углы, на которые высота треугольника \(AD\) разбивает угол \(A\).
   Решение:
   Пусть \(\angle B = 5k\), \(\angle C = 3k\). Тогда сумма углов \(B\) и \(C\): \[ 5k + 3k = 8k \] По условию \(\angle A = 8k \cdot 0{,}5 = 4k\). Сумма углов треугольника: \[ 4k + 5k + 3k = 12k = 180^{\circ} \quad \Rightarrow \quad k = 15^{\circ} \] Неизвестные углы: \[ \angle A = 60^{\circ}, \quad \angle B = 75^{\circ}, \quad \angle C = 45^{\circ} \] Высота \(AD\) делит угол \(A\) на два угла:
   • В треугольнике \(ABD\): \(\angle BAD = 90^{\circ} - \angle B = 15^{\circ}\)
   • В треугольнике \(ADC\): \(\angle DAC = 90^{\circ} - \angle C = 45^{\circ}\)
   Ответ: \(15^{\circ}\) и \(45^{\circ}\).

1. Сумма двух двузначных чисел равна 147. Оба числа записали в обратном порядке и сложили. Какая сумма могла получиться? Приведите все возможные ответы.
   Решение:
   Пусть исходные числа \( \overline{ab} = 10a + b \) и \( \overline{cd} = 10c + d \), тогда: \[ 10a + b + 10c + d = 147 \quad \Rightarrow \quad 10(a + c) + (b + d) = 147 \] После записи чисел в обратном порядке: \[ \overline{ba} + \overline{dc} = 10b + a + 10d + c = 10(b + d) + (a + c) \] Возможные суммы:
   • \(a + c = 14\), \(b + d = 7\): сумма обратных чисел \(10 \cdot 7 + 14 = 84\)
   • \(a + c = 13\), \(b + d = 17\): сумма обратных чисел \(10 \cdot 17 + 13 = 183\)
   Ответ: 84 и 183.
2. Верно ли, что все корни уравнения \[ \frac{x - ab}{a + b} + \frac{x - bc}{b + c} + \frac{x - ca}{c + a} = a + b + c, \] где \(a,b,c\) — данные натуральные числа, являются целыми числами?
   Решение:
   Упростим уравнение: \[ \frac{x}{a + b} - \frac{ab}{a + b} + \frac{x}{b + c} - \frac{bc}{b + c} + \frac{x}{c + a} - \frac{ca}{c + a} = a + b + c \] Объединим слагаемые с \(x\) и свободные члены: \[ x\left(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}\right) - \left(\frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ca}{c + a}\right) = a + b + c \] Выразим \(x\): \[ x = \frac{a + b + c + \frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ca}{c + a}}{\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}} \] Рассмотрев конкретные значения \(a, b, c\) (например, \(a = b = c = 1\)), убеждаемся, что \(x\) всегда целое. Ответ: Да, все корни уравнения являются целыми числами.