Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2024 год вариант 3

ЛИЦЕЙ КФУ

2024 год

Вариант 3

1. Найдите значение выражения: \[ \frac{ (2,46 : 2,4 - 1,5)\;\times\;(-6\tfrac{2}{3}) : (-3,8) }{ \bigl(-\tfrac{7}{18} + \tfrac{5}{12}\times(-0,4)\bigr)\;:\;4\tfrac{1}{6}\;-\;\tfrac{1}{6} }. \]
2. Решите уравнения:
   1. \(\displaystyle \tfrac{5}{3}\bigl(0,5z + 19\tfrac{1}{2}\bigr) = \bigl(2\tfrac{7}{9}z + 3\tfrac{1}{3}\bigr)\times 3.\)
   2. \((2x + 8,59)\,(|3x| + 15)\,(x^2 - 81) = 0.\)
3. Площадь меньшего прямоугольника на рисунке равна 36 см². Найдите площадь большого прямоугольника. Ответ дайте в см².
   
4. При подготовке к вступительным испытаниям по математике Алсу за пять дней решила 125 задач. За первый день она решила 8% всех задач, во второй день — в два с половиной раза меньше, чем в третий. Количество задач, решённых в третий день, относится к количеству задач, решённых в пятый день, как 5:3. Количество задач, решённых на четвёртый день, составляет \(\tfrac{3}{4}\) числа задач, решённых за второй день. Сколько задач решила Алсу в каждый из этих пяти дней?
5. Постройте прямоугольник \(ABCD\) по координатам его вершин: \[ A(2;5),\quad B(-2;5),\quad C(-2;-3),\quad D(2;-3). \]
   1. Найдите координаты точек пересечения сторон \(AB\) и \(CD\) с осями координат.
   2. Перенесите прямоугольник \(ABCD\) на 1 единицу вниз и на 4 единицы влево. Запишите координаты точки пересечения диагоналей получившегося прямоугольника \(A_1B_1C_1D_1\).
   
   
   
6. Имеется 2025 целых чисел, их произведение равно 1. Может ли сумма всех этих чисел быть равной нулю?
   
   
7. Миша записал 6 различных натуральных чисел, среди которых нет 1, и перемножил их. В результате у него получилось 70686. Найдите сумму чисел, которые перемножал Миша.
   
   

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ \frac{ (2,46 : 2,4 - 1,5)\;\times\;(-6\tfrac{2}{3}) : (-3,8) }{ \bigl(-\tfrac{7}{18} + \tfrac{5}{12}\times(-0,4)\bigr)\;:\;4\tfrac{1}{6}\;-\;\tfrac{1}{6} } \] Решение:
   Числитель:
   $2,46 : 2,4 = 1,025$;
   $1,025 - 1,5 = -0,475$;
   $-6\frac{2}{3} = -\frac{20}{3}$;
   $-0,475 \times -\frac{20}{3} = 3,166...$;
   $3,166... : (-3,8) = -0,833...$ (это $-\frac{5}{6}$).
   Знаменатель:
   $\frac{5}{12} \times -0,4 = -\frac{5}{12} \times \frac{2}{5} = -\frac{1}{6}$;
   $-\frac{7}{18} + (-\frac{1}{6}) = -\frac{7}{18} - \frac{3}{18} = -\frac{10}{18} = -\frac{5}{9}$;
   $4\frac{1}{6} = \frac{25}{6}$;
   $-\frac{5}{9} : \frac{25}{6} = -\frac{5}{9} \times \frac{6}{25} = -\frac{2}{15}$;
   $-\frac{2}{15} - \frac{1}{6} = -\frac{4}{30} - \frac{5}{30} = -\frac{9}{30} = -\frac{3}{10}$.
   Итоговое выражение:
   $\frac{-\frac{5}{6}}{-\frac{3}{10}} = \frac{5}{6} \times \frac{10}{3} = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9} \approx 2,777...$
   Ответ: $\frac{25}{9}$ или $2\frac{7}{9}$.
   
   
2. Решите уравнения:
   1. $\displaystyle \tfrac{5}{3}\bigl(0,5z + 19\tfrac{1}{2}\bigr) = \bigl(2\tfrac{7}{9}z + 3\tfrac{1}{3}\bigr)\times 3$
      Решение:
      Переведем дроби в неправильные: $19\frac{1}{2} = \frac{39}{2}$; $2\frac{7}{9} = \frac{25}{9}$; $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
      Умножим обе стороны на 3 для упрощения:
      $5\left(0,5z + \frac{39}{2}\right) = 3 \times 3 \times \left(\frac{25}{9}z + \frac{10}{3}\right)$
      Раскроем скобки:
      $2,5z + 97,5 = 25z + 30$
      Перенесем переменные:
      $-22,5z = -67,5$
      $z = \frac{-67,5}{-22,5} = 3$.
      Ответ: $z = 3$.
      
      
   2. $(2x + 8,59)\,(|3x| + 15)\,(x^2 - 81) = 0.$
      Решение:
      Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
      1. $2x + 8,59 = 0 \Rightarrow x = -4,295$
      2. $|3x| + 15 = 0$ — нет решений (сумма не может быть отрицательной)
      3. $x^2 - 81 = 0 \Rightarrow x = 9$ или $x = -9$
      Проверим второе уравнение на наличие корней: модуль всегда ≥0, значит $|3x| +15$ ≥15. Поэтому только остальные варианты.
      Ответ: $x = -9$; $x = -4,295$; $x = 9$.
      
      
   
   
   
3. Площадь меньшего прямоугольника на рисунке равна 36 см². Найдите площадь большого прямоугольника.
   Решение:
   Пусть стороны меньшего прямоугольника — $a$ и $b$, тогда $a \times b = 36$.
   Больший прямоугольник имеет стороны $3a$ и $2b$, поэтому его площадь $3a \times 2b = 6ab = 6 \times 36 = 216$ см$^2$.
   Ответ: 216 см².
   
   
4. Алсу за пять дней решила 125 задач.
   Решение:
   Пусть общее число задач 125 ($100\%$).
   Первый день: 8% от 125 = 10 задач.
   Остается $125 - 10 = 115$ задач.
   Пусть в третий день решено $x$ задач, тогда во второй день — $\frac{x}{2,5}$ задач.
   В пятый день: $\frac{3}{5}x$ задач (из отношения 5:3).
   Четвертый день: $\frac{3}{4} \times \frac{x}{2,5} = \frac{3x}{10}$ задач.
   Суммарно за дни 2-5:
   $\frac{x}{2,5} + x + \frac{3x}{10} + \frac{3x}{5} = 115$
   Совместный расчет приводит к уравнению:
   $0,4x + x + 0,3x + 0,6x = 115 ⇒ 2,3x = 115 ⇒ x = 50$.
   Результат:
   - Второй день: $50 : 2,5 = 20$ задач. - Третий день: 50 задач. - Четвертый день: $\frac{3}{4} \times 20 = 15$ задач. - Пятый день: $\frac{3}{5} \times 50 = 30$ задач.
   Проверка суммы: 10 + 20 + 50 + 15 + 30 = 125.
   Ответ: 10, 20, 50, 15, 30.
   
   
5. Постройте прямоугольник \(ABCD\) по координатам:
   Решение:
   1. Точка A(2;5), B(-2;5), C(-2;-3), D(2;-3). Стороны AB и CD параллельны оси X, BC и AD — оси Y.
      Сторона AB: y=5. Пересечение с осью Y: (0;5).
      Сторона CD: y=-3. Пересечение с осью Y: (0;-3).
      Осей X стороны AB и CD не пересекают (горизонтальные).
      Ответ: AB пересекает ось Y в (0,5); CD пересекает ось Y в (0,-3).
      
      
   2. При переносе на 1 вниз и 4 влево:
      Новые координаты:
      $A_1(-2;4)$, $B_1(-6;4)$, $C_1(-6;-4)$, $D_1(-2;-4)$.
      Точка пересечения диагоналей находится в середине $A_1C_1$:
      Средняя точка: $\left(\frac{-2 + (-6)}{2}, \frac{4 + (-4)}{2}\right) = (-4, 0)$.
      Ответ: (-4, 0).
   
   
   
6. Произведение 2025 целых чисел равно 1. Может ли их сумма быть нулём?
   Решение:
   Да, например, взять 2024 чисел равных 1 и один -1. Тогда:
   Произведение: $1^{2024} \times (-1) = -1$ — не подходит.
   Исправим: добавим два числа -1 и остальные 2023 числа по 1:
   Произведение: $(-1)^2 \times 1^{2023} = 1$; Сумма: $2023 \times 1 + 2 \times (-1) = 2021 ≠ 0$.
   Возможно другое сочетание:
   Если взять чётное количество -1 и 2025 - k единиц, чтобы произведение было 1.
   Например, 2024 единицы и 1 единица — сумма равна 2025 (не 0).
   Но для суммы нуль требуется четное количество отрицательных единиц с компенсацией положительными. Например, 1012 чисел -1 и 1013 чисел 1:
   Сумма: $1013 - 1012 = 1 ≠ 0$.
   Проблема: произведение всех чисел равно $(-1)^{1012} \times 1^{1013} = 1$, сумма не равна нулю.
   Поскольку количество чисел нечетное (2025), невозможно четное количество отрицательных чисел без нарушения произведения.
   Ответ: Нет, не может.
   
   
7. Сумма шести различных натуральных чисел (кроме 1), произведение которых 70686.
   Решение:
   Разложим 70686 на множители:
   $70686 ÷ 2 = 35343$; ÷3 = 11781; ÷9 = 1309 — не делится. Предположим другие множители: 70686 = 2 × 3 × 3 × 3 × 13 × 19 × 19. Проверка: 2×3×3×3×13×19×19 = 2×27×13×361 = 54 × 4693 = ?? Необходимо найти 6 различных чисел: Посмотрим возможную группировку: 2, 3, 9, 13, 19, 19 ×1. Но повторения запрещены. Альтернатива: 2×19=38, 3, 3 в отдельные группы нельзя. Минимальные возможные различные числа: 2, 3, 6 (3×2), 13, 19, 19 (нельзя). Возможно: 2, 3, 3, 13, 19, 19, но повторения запрещены. Скорее всего необходимо разделить на множители как: 2 × 3 × 13 × 19² × 3 → нарушение уникальности. Возможно исходное предположение неверно. Верное разложение: 70686 = 2 × 3² × 13 × 19². Тогда можно составить числа: 2, 9 (3²), 13, 19, 19, 3. Но повторяется 19 и используется 3 отдельно, приводя к набору: 2,3,9,13,19,19 — сумма 2+3+9+13+19+19=65. Однако числа должны быть различны и не равны 1. Возможно другое формирование, например: 2, 3, 6, 13, 19, 19 — 2×3=6. Сумма та же. Возможно, исходное условие требует уточнения разложения. Возможный корректный набор чисел: 2,3,6,13,19,21 (если перемножить). Но точное разложение требует дополнительной проверки. Ответ: 2+3+6+13+19+21=64. (Если такая комбинация верна) Возможно другой вариант ответа в зависимости от факторов, но точное решение требует дополнительного исследования.