Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2024 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2024 год

Вариант 1

1. Найдите значение выражения: \[ \frac{ (1,47 : 1,4 - 1,5)\;\times\;(-3\tfrac{2}{3}):( -2,7) }{ \bigl(-\tfrac{7}{18} + \tfrac{5}{12}\times(-0,4)\bigr)\colon 4\tfrac{1}{6}\;-\; \tfrac{1}{6} }. \]
2. Решите уравнения:
   1. \(\displaystyle \tfrac{1}{3}\bigl(0,5z + 19\tfrac{1}{2}\bigr) = \bigl(2\tfrac{7}{9}z + 3\tfrac{1}{3}\bigr)\times 0,6.\)
   2. \((2x + 6,57)\,(|3x| + 14)\,(x^2 - 121) = 0.\)
3. Площадь меньшего прямоугольника на рисунке равна 60 см². Найдите площадь большого прямоугольника. Ответ дайте в см².
   
4. При подготовке к вступительным испытаниям по математике Айгуль за пять дней решила 150 задач. За первый день она решила 14% всех задач, во второй — в полтора раза меньше, чем в третий. Количество задач, решённых в третий день, относится к количеству задач, решённых в пятый день, как 2:3. Количество задач, решённых на четвёртый день, составляет \(\tfrac{5}{8}\) числа задач, решённых за второй день. Сколько задач решила Айгуль в каждый из этих пяти дней?
5. Постройте прямоугольник \(ABCD\) по координатам его вершин: \[ A(2;4),\quad B(-2;4),\quad C(-2;-2),\quad D(2;-2). \]
   1. Найдите координаты точек пересечения сторон \(AB\) и \(BC\) с осями координат.
   2. Перенесите прямоугольник \(ABCD\) на 2 единицы вниз и на 3 единицы вправо. Запишите координаты точки пересечения диагоналей получившегося прямоугольника \(A_1B_1C_1D_1\).
   
   
   
6. Имеется 2021 целое число, их произведение равно 1. Может ли сумма всех этих чисел быть равной нулю?
   
   
7. Коля записал 6 различных натуральных чисел, среди которых нет 1, и перемножил их. В результате у него получилось 135135. Найдите сумму чисел, которые перемножал Коля.

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ \frac{ (1,47 : 1,4 - 1,5)\;\times\;(-3\tfrac{2}{3}):(-2,7) }{ \bigl(-\tfrac{7}{18} + \tfrac{5}{12}\times(-0,4)\bigr)\colon 4\tfrac{1}{6}\;-\; \tfrac{1}{6} } \]
   Решение: Посчитаем числитель: \[ 1,47 : 1,4 = 1,05; \quad 1,05 - 1,5 = -0,45 \] \[ -0,45 \times (-3\frac{2}{3}) = -0,45 \times (-\frac{11}{3}) = 1,65 \] \[ 1,65 : (-2,7) = -\frac{11}{18} \] Числитель равен \(-\frac{11}{18}\).
   
   
   Посчитаем знаменатель: \[ \frac{5}{12} \times (-0,4) = -\frac{1}{6}; \quad -\frac{7}{18} - \frac{1}{6} = -\frac{10}{18} = -\frac{5}{9} \] \[ -\frac{5}{9} : 4\frac{1}{6} = -\frac{5}{9} \times \frac{6}{25} = -\frac{2}{15}; \quad -\frac{2}{15} - \frac{1}{6} = -\frac{3}{10} \] Знаменатель равен \(-\frac{3}{10}\).
   
   
   Итог: \[ \frac{-\frac{11}{18}}{ -\frac{3}{10} } = \frac{11}{18} \times \frac{10}{3} = \frac{55}{27} \] Ответ: \(\boxed{\frac{55}{27}}\).
   
   
2. Решите уравнения:
   1. \(\displaystyle \tfrac{1}{3}\bigl(0,5z + 19\tfrac{1}{2}\bigr) = \bigl(2\tfrac{7}{9}z + 3\tfrac{1}{3}\bigr)\times 0,6\)
      Решение: \[ 0,5 = \frac{1}{2}, \, 19\frac{1}{2} = \frac{39}{2}, \, 2\frac{7}{9} = \frac{25}{9}, \, 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}, \, 0,6 = \frac{3}{5} \] \[ \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}z + \frac{39}{2}\right) = \left(\frac{25}{9}z + \frac{10}{3}\right) \times \frac{3}{5} \] \[ \frac{z + 39}{6} = \frac{5z + 6}{3} \quad \Rightarrow \quad z + 39 = 10z + 12 \quad \Rightarrow \quad z = 3 \] Ответ: \(\boxed{3}\).
      
      
   2. \((2x + 6,57)\,(|3x| + 14)\,(x^2 - 121) = 0\)
      Решение:
      \(2x + 6,57 = 0 \Rightarrow x = -3,285\)
      \(x^2 - 121 = 0 \Rightarrow x = \pm11\)
      Ответ: \(\boxed{-11}\), \(\boxed{-3,285}\), \(\boxed{11}\).
      
      
   
   
   
3. Площадь меньшего прямоугольника 60 см². Найдите площадь большого.
   Решение: Предположим, больший прямоугольник состоит из двух меньших. Тогда площадь: \(60 \times 2 = 120\) см².
   Ответ: \(\boxed{120}\) см².
   
   
4. Айгуль решила 150 задач за 5 дней:
   Первый день: \(150 \times 0,14 = 21\). Остаток: \(150 - 21 = 129\).
   Пусть третий день: \(x\), тогда: Второй день: \(\frac{2}{3}x\), Четвёртый: \(\frac{5}{12}x\), Пятый: \(\frac{3}{2}x\). \[ \frac{2}{3}x + x + \frac{5}{12}x + \frac{3}{2}x = 129 \quad \Rightarrow \quad x = 36 \] Второй: 24, Четвёртый: 15, Пятый: 54.
   Ответ: \(\boxed{21}\), \(\boxed{24}\), \(\boxed{36}\), \(\boxed{15}\), \(\boxed{54}\).
   
   
5. Постройте прямоугольник \(ABCD\):
   1. Точка пересечения стороны \(BC\) с осью Oy: \(\boxed{(-2; 0)}\).
   2. Координаты центра \(A_1B_1C_1D_1\): \(\boxed{(3; -1)}\).
   
   
   
6. Может ли сумма 2021 целого числа с произведением 1 быть нулём?
   Ответ: \(\boxed{\text{Нет}}\).
   
   
7. Сумма чисел, дающих произведение 135135:
   Разложение: \(3, 5, 7, 9, 11, 13\). Сумма: \(\boxed{48}\).