Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2023 год вариант 4

ЛИЦЕЙ КФУ

2023 год

Вариант 4

1. Вычислить значение дробей \(A\) и \(B\) и определить, на сколько процентов \(A\) больше \(B\): \[ A = \frac{\bigl(7\tfrac{1}{3} + 2\tfrac{1}{4}\bigr) \cdot 1\tfrac{1}{23}}{3\tfrac{1}{3} - 2\tfrac{7}{9}}, \quad B = \frac{\bigl(2\tfrac{2}{3} + 1\tfrac{1}{5}\bigr) \cdot 1{,}5}{(4 - 2{,}26)\colon 1\tfrac{1}{5}}. \]
   
   
2. Решите уравнения:
   1. \(-0{,}9\bigl(0{,}4 - 1\tfrac{2}{3}x\bigr) - 0{,}2\bigl(0{,}8 - 7\tfrac{1}{2}x\bigr) = -0{,}8 \;\cdot\; \bigl(2{,}3 - 1\tfrac{1}{5}\bigr).\)
   2. \(\displaystyle \bigl|\,|x - 1| - 2\bigr| - 1 = 2.\)
   
   
   
3. Решите задачу:
   1. Сколько граммов воды надо выпарить из 700 г раствора соли концентрации \(12\tfrac{1}{7}\%\), чтобы получить \(20\%\)-й раствор?
   2. Трое кладоискателей нашли клад из 800 редких монет. Государству принадлежит 75% всех монет, а 14% оставшейся части составляют налоги. После уплаты налогов кладоискатели разделили монеты так, что доли первого и второго относятся как \(11:6\), а доли второго и третьего — как \(5:\tfrac{1}{6}\). Сколько монет получил каждый кладоискатель?
   
   
   
4. Отметьте на координатной плоскости точки \(A(3;-1)\), \(B(-1;3)\) и \(C(-3;-3)\). Соедините отрезками середины сторон треугольника \(ABC\) и найдите площадь получившегося треугольника.
   
   
5. Решите задачу: Велосипедист выехал из пункта \(A\). Проехав 30 мин со скоростью 12 км/ч, он сделал остановку на 1 ч, а затем продолжил путь с первоначальной скоростью. Через 3 ч после выезда из \(A\) по той же дороге выехал мотоциклист, скорость которого на 40 км/ч больше скорости велосипедиста. На каком расстоянии от пункта \(A\) мотоциклист догонит велосипедиста?

Решения задач

1. Вычислить значение дробей \(A\) и \(B\) и определить, на сколько процентов \(A\) больше \(B\): \[ A = \frac{\bigl(7\tfrac{1}{3} + 2\tfrac{1}{4}\bigr) \cdot 1\tfrac{1}{23}}{3\tfrac{1}{3} - 2\tfrac{7}{9}}, \quad B = \frac{\bigl(2\tfrac{2}{3} + 1\tfrac{1}{5}\bigr) \cdot 1{,}5}{(4 - 2{,}26)\colon 1\tfrac{1}{5}}. \]
   Решение: Дробь \(A\): Переведем смешанные числа в неправильные дроби: \[ 7\tfrac{1}{3} = \frac{22}{3}, \quad 2\tfrac{1}{4} = \frac{9}{4}, \quad 1\tfrac{1}{23} = \frac{24}{23}, \quad 3\tfrac{1}{3} = \frac{10}{3}, \quad 2\tfrac{7}{9} = \frac{25}{9}. \] Сумма в числителе: \[ \frac{22}{3} + \frac{9}{4} = \frac{88 + 27}{12} = \frac{115}{12}. \] Умножение на \(\frac{24}{23}\): \[ \frac{115}{12} \cdot \frac{24}{23} = \frac{115 \cdot 2}{23} = 10. \] Вычитание в знаменателе: \[ \frac{10}{3} - \frac{25}{9} = \frac{30 - 25}{9} = \frac{5}{9}. \] Значит, \(A = 10 : \frac{5}{9} = 18\). Дробь \(B\): Смешанные числа и десятичные: \[ 2\tfrac{2}{3} = \frac{8}{3}, \quad 1\tfrac{1}{5} = \frac{6}{5}, \quad 1,5 = \frac{3}{2}, \quad 1\tfrac{1}{5} = \frac{6}{5}. \] Сумма в числителе: \[ \frac{8}{3} + \frac{6}{5} = \frac{40 + 18}{15} = \frac{58}{15}. \] Умножение на \(\frac{3}{2}\): \[ \frac{58}{15} \cdot \frac{3}{2} = \frac{174}{30} = \frac{29}{5} = 5,8. \] Знаменатель: \[ (4 - 2,26) : \frac{6}{5} = 1,74 \cdot \frac{5}{6} = 1,45. \] Тогда \(B = \frac{5,8}{1,45} = 4\). Определение процентов: Разность \(A - B = 14\). Относительно \(B\): \[ \frac{14}{4} \cdot 100% = 350\%. \]
   Ответ: \(A = 18\), \(B = 4\), \(A\) больше \(B\) на \(350\%\).
2. Решите уравнения:
   1. \(-0{,}9\bigl(0{,}4 - 1\tfrac{2}{3}x\bigr) - 0{,}2\bigl(0{,}8 - 7\tfrac{1}{2}x\bigr) = -0{,}8 \;\cdot\; \bigl(2{,}3 - 1\tfrac{1}{5}\bigr).\)
      Решение
      Раскроем скобки: \[ -0{,}9 \cdot 0{,}4 + 0{,}9 \cdot \frac{5}{3}x - 0{,}2 \cdot 0{,}8 + 0{,}2 \cdot \frac{15}{2}x = -0{,}88. \] Упростим коэффициенты: \[ -0{,}36 + 1{,}5x - 0{,}16 + 1{,}5x = -0{,}88 \quad\Rightarrow\quad 3x - 0{,}52 = -0{,}88. \] Решение: \[ 3x = -0{,}36 \quad\Rightarrow\quad x = -0{,}12. \]
      Ответ: \(-0{,}12\).
   2. \(\displaystyle \bigl|\,|x - 1| - 2\bigr| - 1 = 2.\) Решение: \[ \bigl|\,|x - 1| - 2\bigr| = 3. \] Возможны случаи:
      • \(|x - 1| - 2 = 3\) \(\Rightarrow ||x - 1| = 5 \Rightarrow x = 6\) или \(x = -4\).
      • \(|x - 1| - 2 = -3\) \(\Rightarrow |x - 1| = -1\) (нет решений).
      
      Ответ: \(6\) и \(-4\).
3. Решите задачи:
   1. Сколько граммов воды надо выпарить из 700 г раствора соли концентрации \(12\tfrac{1}{7}\%\), чтобы получить \(20\%\)-й раствор?
      Решение: Масса соли: \[ 700 \cdot \frac{85}{7\%\%} = 85\ \text{г}. \] После выпаривания: \[ \frac{85}{0{,}2} = 425\ \text{г} \quad\Rightarrow\quad 700 - 425 = 275\ \text{г}. \]
      Ответ: \(275\) г.
   2. Трое кладоискателей нашли клад из 800 редких монет. Государству принадлежит 75% всех монет, а 14% оставшейся части составляют налоги. После уплаты налогов кладоискатели разделили монеты так, что доли первого и второго относятся как \(11:6\), а доли второго и третьего — как \(5:\tfrac{1}{6}\). Сколько монет получил каждый кладоискатель?
      Решение: Государству: \(800 \cdot 0{,}75 = 600\) монет. Остаток: \(800 - 600 = 200\). Налоги: \(200 \cdot 0{,}14 = 28\). До раздела: \(200 - 28 = 172\). Приведем отношения: \[ 11 : 6\quad\text{и}\quad 5 : \frac{1}{6} \quad\Rightarrow\quad 30 : 1. \] Общее отношение: \(55 : 30 : 1\). Частей: \(86\). Число монет на часть: \(\frac{172}{86} = 2\).
      Ответ: первый — \(110\), второй — \(60\), третий — \(2\) монеты.
4. Отметьте на координатной плоскости точки \(A(3;-1)\), \(B(-1;3)\) и \(C(-3;-3)\). Соедините отрезками середины сторон треугольника \(ABC\) и найдите площадь получившегося треугольника.
   Решение: Середины сторон: \[ D(1;1),\quad E(-2;0),\quad F(0;-2). \] Формула площади: \[ S = \frac{1}{2} \left| 1 \cdot (0 - (-2)) + (-2) \cdot (-2 - 1) + 0 \cdot (1 - 0) \right| = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4. \]
   Ответ: \(4\).
5. Велосипедист выехал из пункта \(A\). Проехав 30 мин со скоростью 12 км/ч, он сделал остановку на 1 ч, а затем продолжил путь с первоначальной скоростью. Через 3 ч после выезда из \(A\) по той же дороге выехал мотоциклист, скорость которого на 40 км/ч больше скорости велосипедиста. На каком расстоянии от пункта \(A\) мотоциклист догонит велосипедиста?
   Решение: Путь велосипедиста до выезда мотоциклиста: \[ 0{,}5 \cdot 12 + 1{,}5 \cdot 12 = 6 + 18 = 24\ \text{км}. \] Уравнение движения: \[ 52t = 24 + 12t \quad\Rightarrow\quad 40t = 24 \quad\Rightarrow\quad t = 0{,}6\ \text{ч}. \] Расстояние: \[ 52 \cdot 0{,}6 = 31{,}2\ \text{км}. \]
   Ответ: \(31{,}2\) км.