8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2023 год вариант 3

Сложность:
Дата экзамена: 2023
ЕГЭ 2026: Как подготовиться без паники и стресса?
7 сентября в 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2023 год


Вариант 3



  1. Вычислить значение дробей \(A\) и \(B\) и определить, на сколько процентов \(A\) меньше \(B\): \[ A = \frac{\bigl(2\tfrac{4}{15} - 1\tfrac{5}{12}\bigr)\cdot 3\tfrac{2}{5}}{2\tfrac{5}{6} - 2\tfrac{3}{4}}, \quad B = \frac{\bigl(3\tfrac{1}{3} - 2\tfrac{2}{3}\bigr)\cdot 60}{(15{,}5 + 4{,}5)\colon\tfrac{1}{2}}. \]

  2. Решить уравнения:
    1. \(0{,}8\bigl(1\tfrac{2}{3}x - 0{,}6\bigr) - 0{,}6\bigl(\tfrac{5}{9}x - 1{,}2\bigr) = -0{,}045 \;:\; \bigl(3{,}45 - 3\tfrac{3}{4}\bigr).\)
    2. \(\displaystyle \bigl|\,5 - |x + 6|\,\bigr| + 1 = 6.\)


  3. Решить задачи:
    1. Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего \(15\tfrac{1}{3}\%\) соли, чтобы получить \(10\%\)-й раствор?
    2. Трое кладоискателей нашли клад из 5000 редких монет. Государству принадлежит 84% всех монет, а 75% оставшейся части составляют налоги. После уплаты налогов кладоискатели разделили монеты так, что доли первого и второго относятся как \(\tfrac{1}{4}:6\), а доли второго и третьего — как \(8:5\). Сколько монет получил каждый кладоискатель?


  4. Отметьте на координатной плоскости точки \(A(-5;-2)\), \(B(1;4)\) и \(C(-1;-4)\). Соедините отрезками середины сторон треугольника \(ABC\) и найдите площадь получившегося треугольника.

  5. Решить задачу: Из \(A\) в \(B\) со скоростью 66 км/ч отправился товарный поезд, а спустя 20 мин из станции \(B\) в направлении станции \(A\) вышел скорый поезд со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от станции \(B\) поезда встретятся, если длина перегона \(AB\) равна 256 км?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислить значения дробей \(A\) и \(B\) и определить, на сколько процентов \(A\) меньше \(B\): \[ A = \frac{\bigl(2\tfrac{4}{15} - 1\tfrac{5}{12}\bigr)\cdot 3\tfrac{2}{5}}{2\tfrac{5}{6} - 2\tfrac{3}{4}}, \quad B = \frac{\bigl(3\tfrac{1}{3} - 2\tfrac{2}{3}\bigr)\cdot 60}{(15{,}5 + 4{,}5)\colon\tfrac{1}{2}}. \]
    Решение:
    Вычисление \(A\):
    Числитель: $2\tfrac{4}{15} - 1\tfrac{5}{12} = \frac{34}{15} - \frac{17}{12} = \frac{136 - 85}{60} = \frac{51}{60} = \frac{17}{20}$,
    умножим на $3\tfrac{2}{5} = \frac{17}{5}$: $\frac{17}{20} \cdot \frac{17}{5} = \frac{289}{100}$.
    Знаменатель: $2\tfrac{5}{6} - 2\tfrac{3}{4} = \frac{17}{6} - \frac{11}{4} = \frac{34 - 33}{12} = \frac{1}{12}$.
    \(A = \frac{\frac{289}{100}}{\frac{1}{12}} = \frac{289}{100} \cdot 12 = \frac{3468}{100} = 34,68\).

    Вычисление \(B\):
    Числитель: $(3\tfrac{1}{3} - 2\tfrac{2}{3}) \cdot 60 = (\frac{10}{3} - \frac{8}{3}) \cdot 60 = \frac{2}{3} \cdot 60 = 40$.
    Знаменатор: $(15,5 + 4,5) : \tfrac{1}{2} = 20 \cdot 2 = 40$.
    \(B = \frac{40}{40} = 1\).

    Сравнение: \[ \text{Процентное отношение} = \frac{B - A}{B} \cdot 100% = \frac{34,68 - 1}{1} \cdot 100% = 3368\%. \] Задача предполагала ошибку в условии, так как \(A > B\).
    Ответ: Итоги рассчитаны некорректно в условии задачи, требуется уточнение. Однако результаты: \(A = 34,68\), \(B = 1\).

  2. Решить уравнения:
    1. \(0{,}8\bigl(1\tfrac{2}{3}x - 0{,}6\bigr) - 0{,}6\bigl(\tfrac{5}{9}x - 1{,}2\bigr) = -0{,}045 \;:\; \bigl(3{,}45 - 3\tfrac{3}{4}\bigr).\)
      Решение:
      Переведём смешанные дроби и упростим правую часть:\[ 3,45 - 3\tfrac{3}{4} = 3,45 - 3,75 = -0,3;\quad -0,045 : (-0,3) = 0,15. \] Преобразуем уравнение: \[ 0,8 \left(\frac{5}{3}x - 0,6\right) - 0,6 \left(\frac5{9}x - 1,2\right) = 0,15. \] Раскроем скобки: \[ \frac{4}{3}x - 0,48 - \frac{1}{3}x + 0,72 = 0,15;\quad \Rightarrow x + 0,24 = 0,15 \quad \Rightarrow x = -0,09. \] Ответ: \(-0,09\).

    2. \(\displaystyle \bigl|\,5 - |x + 6|\,\bigr| + 1 = 6.\)
      Решение: \[ \bigl|\,5 - |x + 6|\,\bigr| = 5. \] Возможны два случая:
      1. \(5 - |x + 6| = 5 \quad \Rightarrow |x + 6| = 0 \quad \Rightarrow x = -6\).
      2. \(5 - |x + 6| = -5 \quad \Rightarrow |x + 6| = 10\)
        \(\rightarrow x +6 = 10 \quad \Rightarrow x = 4\);
        \(\rightarrow x +6 = -10 \quad \Rightarrow x = -16\).
      Ответ: \(-16; -6; 4\).


  3. Решить задачи:
    1. Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего \(15\tfrac{1}{3}\%\) соли, чтобы получить $10\%$-й раствор?
      Решение:
      Количество соли в растворе: \[ \frac{46}{3}% \cdot 600\,\text{г} = \frac{46}{300} \cdot 600 = 92\,\text{г}. \] Пусть добавлено \(x\) г воды. Новый объём раствора — \(600 + x\), соль останется: \[ 0,1 \cdot (600 + x) = 92 \quad \Rightarrow 600 + x = 920 \quad \Rightarrow x = 320\,\text{г}. \] Ответ: \(320\,\text{г}\).

    2. Разделение клада:
      Государство получило: \[ 5000 \cdot 0,84 = 4200\,\text{монет}. \] Остаток: \(5000 - 4200 = 800\,\text{монет}\). Налоги: \[ 800 \cdot 0,75 = 600\,\text{монет}; \quad 800 - 600 = 200\,\text{монет}. \] Пересчитаем соотношения долей. Приведя к общей схеме: \[ \frac{1}{4} : 6 \Rightarrow 1 : 24; \quad 8 : 5 \Rightarrow 24 : 15. \] Сумма частей: \(1 + 24 +15 =40\). Получающиеся доли: \[ \frac{200}{40}\cdot 1 = 5\,\text{(1-й)}; \quad \frac{200}{40} \cdot24 = 120\,\text{(2-й)}; \quad \frac{200}{40} \cdot15 =75\,\text{(3-й)}. \] Ответ: 5, 120, 75 монет.


  4. Координатная задача:
    Середины сторон треугольника \(ABC\): \[ AB \rightarrow \left( \frac{-5+1}{2}, \frac{-2+4}{2} \right) = (-2,1); \\ BC \rightarrow \left( \frac{1+(-1)}{2}, \frac{4 + (-4)}{2} \right) = (0,0); \\ AC \rightarrow \left( \frac{-5+(-1)}{2}, \frac{-2 + (-4)}{2} \right) = (-3,-3). \] Площадь получившегося треугольника методом определителя: \[ S = \frac{1}{2} \left| (-2)(0 - (-3)) + 0(-3 -1) + (-3)(1 -0) \right| = \frac{9}{2} =4,5. \] Ответ: \(4,5\).

  5. Задача с поездами:
    Пусть \(t\) — время движения товарного до встречи. Тогда время скорого: \(t - \frac{1}{3}\). Совместный путь: \[ 66t + 90(t - \frac{1}{3}) =256 \quad \Rightarrow 66t +90t -30 =256 \quad \Rightarrow156t =286 \quad \Rightarrow t= \frac{143}{78}. \] Расстояние от \(B\) до встречи: \[ 90 \cdot\left( \frac{143}{78} - \frac{1}{3} \right)=90 \cdot \frac{117}{78} =135\,\text{км}. \] Ответ: \(135\,\text{км}\).
Материалы школы Юайти