Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2023 год вариант 2

ЛИЦЕЙ КФУ

2023 год

Вариант 2

1. Вычислить значение дробей \(A\) и \(B\) и определить, на сколько процентов \(A\) меньше \(B\): \[ A = \frac{\bigl(4\tfrac{5}{7} - 9\tfrac{1}{14}\bigr)\cdot 4\tfrac{2}{3}}{3\tfrac{2}{9} - 2\tfrac{1}{6}}, \quad B = \frac{(0{,}94 + 19{,}06)\cdot \tfrac{1}{4}}{(3{,}6 - 2{,}75)\cdot \tfrac{4}{17}}. \]
   
   
2. Решите уравнения:
   1. \(-1{,}4\bigl(0{,}9 - \tfrac{5}{7}x\bigr) - 0{,}7\bigl(0{,}4 - 1\tfrac{2}{7}x\bigr) = -0{,}29 \;\colon\;\bigl(4\tfrac{1}{4} - 0{,}25\bigr).\)
   2. \(\displaystyle \bigl|\,|x - 2| - 3\bigr| - 1 = 3.\)
   
   
   
3. Решить задачи:
   1. Сплав состоит из меди, цинка и свинца. Медь составляет 54% сплава, а цинк — $26\tfrac{2}{3}%$ сплава. Сколько килограммов меди и цинка входит в сплав, содержащий 2,9 кг свинца?
   2. Трое кладоискателей нашли клад из 1250 редких монет. Государству принадлежит 84% всех монет, а 58% оставшейся части составляют налоги. После уплаты налогов кладоискатели разделили между собой монеты так, что доли первого и второго относятся как \(7:2\), а доли второго и третьего — как \(3\tfrac{1}{2}:1\). Сколько монет получил каждый кладоискатель?
   
   
   
4. Отметьте на координатной плоскости точки \(A(-2;6)\), \(B(2;-2)\) и \(C(-6;0)\). Соедините отрезками середины сторон треугольника \(ABC\) и найдите площадь получившегося треугольника.
   
   
5. Решить задачу: Расстояние между двумя пристанями на озере катер проплывает по расписанию за 2 ч 30 мин. Через час после отплытия из‑за штормовой погоды он снизил скорость на 10 км/ч и поэтому в пункт назначения прибыл с опозданием на полчаса. С какой первоначальной скоростью плыл катер?

Решения задач

1. Вычислите значения дробей \(A\) и \(B\) и определите, на сколько процентов \(A\) меньше \(B\): \[ A = -19{,}26, \quad B = 25 \]
   Решение: \[ A = \frac{\left(\frac{33}{7} - \frac{127}{14}\right) \cdot \frac{14}{3}}{\frac{29}{9} - \frac{13}{6}} = \frac{\left(-\frac{61}{14}\right) \cdot \frac{14}{3}}{\frac{19}{18}} = \frac{-\frac{61}{3}}{\frac{19}{18}} = -\frac{366}{19} \approx -19{,}26 \] \[ B = \frac{20 \cdot \frac{1}{4}}{\frac{17}{20} \cdot \frac{4}{17}} = \frac{5}{\frac{1}{5}} = 25 \] \[ \text{Процентное отношение: } \frac{25 - (-19{,}26)}{25} \cdot 100% \approx 177% \\ \text{Ответ: } A \text{ меньше } B \text{ на } 177\%. \]
   
   
2. Решите уравнения:
   1. \(-1{,}4\left(0{,}9 - \frac{5}{7}x\right) - 0{,}7\left(0{,}4 - 1\tfrac{2}{7}x\right) = -0{,}29 \colon(4\tfrac{1}{4} - 0{,}25)\)
      Решение: \[ \frac{-7}{5}\left(\frac{9}{10} - \frac{5}{7}x\right) - \frac{7}{10}\left(\frac{2}{5} - \frac{9}{7}x\right) = -\frac{29}{400} \] Упрощение и решение: \[ -\frac{63}{50} + x - \frac{14}{50} + \frac{9x}{10} = -\frac{29}{400} \] \[ -\frac{77}{50} + \frac{19x}{10} = -\frac{29}{400} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{587}{760} \] Ответ: \(\frac{587}{760}\).
      
      
   2. \(\displaystyle \bigl|\,|x - 2| - 3\bigr| - 1 = 3\)
      Решение: \[ \bigl|\,|x - 2| - 3\bigr| = 4 \quad \Rightarrow \quad |x - 2| - 3 = \pm4 \] Первый случай: \[ |x - 2| = 7 \quad \Rightarrow \quad x = 9, \quad x = -5 \] Второй случай не имеет решений.
      Ответ: \(9\), \(-5\).
   
   
   
3. Решите задачи:
   1. Сплав содержит 54% меди и 26\(\frac{2}{3}\)% цинка. Свинец составляет 2,9 кг. Найти массу меди и цинка.
      Решение: \[ 100\ 54\ 26\frac{2}{3}% = 19\frac{1}{3}% = \frac{58}{3}% \quad \Rightarrow \quad \text{Общая масса сплава: } \frac{2{,}9 \cdot 300}{58} = 15 \text{ кг} \] Медь: \(15 \cdot 0{,}54 = 8{,}1\) кг. Цинк: \(15 \cdot \frac{80}{300} = 4\) кг.
      Ответ: 8,1 кг меди и 4 кг цинка.
      
      
   2. Кладоискатели разделили монеты в соотношении \(7:2:4\). Общий остаток после налогов: 84 монеты.
      Решение: \[ 1250 \cdot 0{,}16 = 200 \text{ (после гос.)},\quad 200 \cdot 0{,}42 = 84 \text{ (после налогов)} \] Пропорция: \(49:14:4\). Сумма частей: 67.
      Доля каждого:
      Первый: \(\frac{49}{67} \cdot 84 = \frac{4116}{67}\),
      Второй: \(\frac{14}{67} \cdot 84 = \frac{1176}{67}\),
      Третий: \(\frac{4}{67} \cdot 84 = \frac{336}{67}\).
      Ответ: \(\frac{4116}{67},\ \frac{1176}{67},\ \frac{336}{67}\).
   
   
   
4. Найдите площадь треугольника, образованного серединами сторон:
   Решение: Координаты середин: \((0; 2)\), \((-2; -1)\), \((-4; 3)\).
   Формула площади Гаусса: \[ S = \frac{1}{2} \left|0 \cdot (-1) + (-2) \cdot 3 + (-4) \cdot 2 - (2 \cdot (-2) + (-1) \cdot (-4) + 3 \cdot 0)\right| = 7 \] Ответ: 7.
   
   
5. Катер плыл с первоначальной скоростью: \(V = 40\) км/ч.
   Решение: \[ S = 2{,}5V, \quad S = V \cdot 1 + (V - 10) \cdot \left(\frac{1{,}5V}{V - 10}\right) \\ \Rightarrow \quad 1 + \frac{1{,}5V}{V - 10} = 3 \quad \Rightarrow \quad V = 40 \text{ км/ч} \] Ответ: 40 км/ч.