Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2021 год вариант 4

ЛИЦЕЙ КФУ

2021 год

Вариант 4

МАТЕМАТИКА

1. Сравните значения выражений: \[ \frac{\bigl(2\tfrac{2}{3} - 3\tfrac{1}{3}\bigr)\;\cdot\;2{,}4} {(15{,}5 + 4{,}5)\;\colon\;2\tfrac{1}{2}} \quad\text{и}\quad 22\tfrac{3}{7} -\Bigl(2\tfrac{1}{2} + 1\tfrac{1}{3}\Bigr)\colon\tfrac{1}{6}. \]
   
   
2. Найдите значение выражения при \(X = -150\), \(Y = 2\) и разделите полученное число на три части так, чтобы первая часть относилась ко второй как \(1:2\), а вторая — к третьей как \(0{,}4:0{,}6\): \[ \frac{3}{8}\,(2{,}4X - 3{,}2Y) \;-\; 1{,}8\;\bigl(\tfrac{5}{9}X + 1{,}5Y\bigr). \]
   
   
3. 1. Найдите общий корень уравнений \((|x| - 1)(2 - x) = 0\) и \(4 - |x| = |x|.\)
   2. Решите уравнение: \[ \frac{2{,}5}{\bigl|0{,}5 - 2x\bigr|} \;=\; \frac{|-7|}{3{,}5 + 2{,}1}. \]
   
   
   
4. Решите задачи:
   1. В гараже находилось 340 автомашин трёх видов. Автомашины «Москвич» составляли 45% числа машин «Жигули», а число машин «КамАЗ» составляло \(\tfrac{5}{9}\) от числа «Москвичей». Сколько машин каждого вида было в гараже?
      
      
   2. На координатной прямой выбраны точки \(A(X+1)\), \(B(X-3)\), \(C(2X+3)\). Найдите значения \(X\), при которых длины отрезков \(AB\) и \(BC\) равны, при условии, что точки не совпадают.
5. На координатной плоскости проведите прямую \(AB\), где \(A(5,-3)\), \(B(-6,-3)\). На прямой \(AB\) возьмите точку \(P(-2,-3)\) и проведите лучи \(PK\) и \(PC\), где \(K(3,2)\), \(C(2,-6)\).
   1. Найдите координаты точек пересечения прямой \(AB\) и лучей \(PK\), \(PC\) с осями координат.
   2. Найдите градусную меру угла \(\angle APC\), если луч \(PC\) перпендикулярен лучу \(PK\), а угол \(\angle BPK = 135^\circ\).

ЛОГИКА

1. На доску выписали 77 различных натуральных чис. Верно ли, что среди них найдутся два числа так, чтобы либо их сумма, либо их разность делилась на 150?
2. Настя с Самирой играют в игру. На столе лежат 22 монетки, 21 из которых «орлом» вверх и одна — «решкой». За один ход разрешается перевернуть любые 6 монеток. Выигрывает тот, кто, повторяя эту операцию, перевернёт все монетки «орлом» вверх. Будет ли в этой игре победитель? Если да — при какой стратегии; если нет — объясните, почему.

Решения задач

1. Сравнение значений выражений: \[ \frac{\bigl(2\tfrac{2}{3} - 3\tfrac{1}{3}\bigr) \cdot 2{,}4}{(15{,}5 + 4{,}5) : 2\tfrac{1}{2}} \quad \text{и} \quad 22\tfrac{3}{7} - \Bigl(2\tfrac{1}{2} + 1\tfrac{1}{3}\Bigr) : \tfrac{1}{6}. \] Решение:
   • Первое выражение: \[ \frac{(-1\tfrac{1}{3}) \cdot 2{,}4}{20 : 2{,}5} = \frac{-1{,}6}{8} = -0{,}2. \]
   • Второе выражение: \[ \frac{157}{7} - \Bigl(\tfrac{23}{6} : \tfrac{1}{6}\Bigr) = \frac{157}{7} - 23 = -\tfrac{4}{7} \approx -0{,}571. \]
   • Сравнение: \(-0{,}2 > -0{,}571\).
   Ответ: первое выражение больше второго.
   
   
2. Значение выражения при \(X = -150\), \(Y = 2\): \[ \frac{3}{8}(2{,}4 \cdot (-150) - 3{,}2 \cdot 2) - 1{,}8 \Bigl(\tfrac{5}{9} \cdot (-150) + 1{,}5 \cdot 2\Bigr) = 7{,}2. \] Разделение на три части: \[ 1{,}2 : 2{,}4 : 3{,}6 \quad (\text{соотношение } 1:2:3). \] Ответ: \(1{,}2\); \(2{,}4\); \(3{,}6\).
   
   
3. 1. Общий корень уравнений: \[ (|x| - 1)(2 - x) = 0 \quad \text{и} \quad 4 - |x| = |x|. \] Решение: \(x = 2\).
   2. Уравнение: \[ \frac{2{,}5}{|0{,}5 - 2x|} = \frac{7}{5{,}6} \Rightarrow |0{,}5 - 2x| = 2 \Rightarrow x = -0{,}75 \text{ или } 1{,}25. \]
   
   
   
4. Решение задач:
   1. Пусть "Жигули" — \(x\), тогда: \[ x + 0{,}45x + 0{,}25x = 340 \Rightarrow x = 200. \] Ответ: 200 "Жигулей", 90 "Москвичей", 50 "КамАЗов".
   2. Условие равенства отрезков: \[ |(X+1) - (X-3)| = |(X-3) - (2X+3)| \Rightarrow X = -10. \]
   
   
   
5. Координаты пересечения:
   1. Прямая \(AB\) с осями: \((0, -3)\).
   2. Луч \(PK\): \((-1, 0)\) и \((0, 1)\).
   3. Луч \(PC\): \((2, 0)\) и \((0, -4{,}5)\).
   4. Угол \(\angle APC = 45^\circ\).
   
   
   
6. Логические задачи:
   1. По принципу Дирихле обязательно найдутся два числа с суммой или разностью, кратной 150. Ответ: верно.
   2. Число решек всегда остаётся нечётным, поэтому победителя нет. Ответ: нет победителя.