Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2021 год вариант 3

ЛИЦЕЙ КФУ

2021 год

Вариант 3

1. Сравните значения выражений: \[ \frac{(2{,}64 - 18)\colon 1\tfrac{3}{5}}{\bigl(4\tfrac{3}{7} + 1\tfrac{2}{3}\bigr)\cdot 2{,}1} \quad\text{и}\quad 27\tfrac{1}{6} -\Bigl(3\tfrac{1}{5} + 2\tfrac{1}{4}\Bigr)\cdot 5. \]
   
   
2. Найдите значение выражения при \(X=5\), \(Y=2\) и разделите полученное число на три части так, чтобы первая часть относилась ко второй как \(1:3\), а вторая — к третьей как \(1{,}5:2\): \[ \frac{5}{12}\,(4{,}8X - 1{,}2Y) \;-\; 3{,}6\bigl(\tfrac{2}{9}X + \tfrac{7}{12}Y\bigr). \]
   
   
3. 1. Найдите общий корень систем уравнений \[ (3x + 3)(x - 2) = 0 \quad\text{и}\quad |x| = 2 - |x|. \]
   2. Решите уравнение: \[ \frac{0{,}3}{|\,0{,}8x - 3\,|} \;=\; \frac{|-0{,}9|}{21{,}2 - 0{,}8}. \]
   
   
   
4. Решите задачи:
   1. Роман состоит из трёх глав и занимает 340 страниц. Число страниц второй главы составляет 42% числа страниц первой, а число страниц третьей главы составляет \(\tfrac{2}{3}\) числа страниц второй. Сколько страниц в каждой главе?
      
      
   2. На координатной прямой выбраны точки \(A(X+1)\), \(B(X-3)\), \(C(2X+3)\). Найдите значения \(X\), при которых длины отрезков \(AB\) и \(AC\) равны, при условии, что точки не совпадают.
5. На координатной плоскости проведите прямую \(AC\), где \(A(1;3)\), \(C(-9;3)\). На этой прямой возьмите точку \(B(-5;3)\) и проведите лучи \(BK\) и \(BM\), где \(K(-3;4)\), \(M(-3;1)\).
   1. Найдите координаты точек пересечения прямой \(AC\) и лучей \(BK\), \(BM\) с осями координат.
   2. Найдите градусную меру угла \(\angle ABK\), если луч \(BK\) перпендикулярен лучу \(BM\), а \(\angle MBC = 130^\circ\).

1. На доску выписали 152 различных натуральных числа. Верно ли, что среди них найдутся два числа так, чтобы либо их сумма, либо их разность делилась на 300?
2. Марина с Булатом играют в игру. На столе лежат 20 монет, 19 из которых «решкой» вверх и одна — «орлом». За один ход разрешается перевернуть любые 6 монет. Выигрывает тот, кто, повторяя эту операцию, перевернёт все монетки «решкой» вверх. Будет ли в этой игре победитель? Если да — при какой стратегии; если нет — объясните, почему.

Решения задач

1. Сравните значения выражений: \[ \frac{(2{,}64 - 18)\colon 1\tfrac{3}{5}}{\bigl(4\tfrac{3}{7} + 1\tfrac{2}{3}\bigr)\cdot 2{,}1} \quad\text{и}\quad 27\tfrac{1}{6} -\Bigl(3\tfrac{1}{5} + 2\tfrac{1}{4}\Bigr)\cdot 5. \] Решение:
   1. Левый пример поэтапно: \[ \frac{(2{,}64 - 18) : 1\frac{3}{5}}{\left(4\frac{3}{7} + 1\frac{2}{3}\right) \cdot 2,1} = \frac{-15,36 : 1,6}{\left(\frac{31}{7} + \frac{5}{3}\right) \cdot 2,1} = \frac{-9,6}{\left(\frac{128}{21}\right) \cdot 2,1} = \frac{-9,6}{12,8} = -0,75 \]
   2. Правый пример: \[ 27\frac{1}{6} - \left(3\frac{1}{5} + 2\frac{1}{4}\right) \cdot 5 = \frac{163}{6} - \left(\frac{16}{5} + \frac{9}{4}\right) \cdot 5 = \frac{163}{6} - \frac{109}{20} \cdot 5 = \frac{163}{6} - \frac{109}{4} = \frac{163}{6} - \frac{163,5}{6} = -\frac{0,5}{6} \approx -0,083 \]
      Сравнение: $-0,75 < -0,083$.
      Ответ: Левый пример меньше правого.
2. Найдите значение выражения при \(X=5\), \(Y=2\): \[ \frac{5}{12}\,(4{,}8X - 1{,}2Y) \;-\; 3{,}6\bigl(\tfrac{2}{9}X + \tfrac{7}{12}Y\bigr) \] Решение: \[ \frac{5}{12}(24 - 2,4) - 3,6\left(\frac{10}{9} + \frac{14}{12}\right) = \frac{5}{12} \cdot 21,6 - 3,6 \cdot \frac{3}{2} = 9 - 5,4 = 3,6 \] Деление 3,6 на части в соотношениях: \[ 1:3 \quad \text{и} \quad 1,5:2 = 3:4 \] Общее соотношение: $1:3:4$ (3 части)
   Сумма частей: $1+3+4=8$
   Каждая часть: $3,6 \div 8 = 0,45$
   Части: $0,45$, $1,35$, $1,8$
   Ответ: $0,45$; $1,35$; $1,8$.
3. 1. Общий корень систем: \[ x = 2 \quad \text{(из первого уравнения)}, \quad |x| = 1 \quad \text{(из второго)}. \] Общего корня нет. Ответ: Нет общего корня.
   2. Решение уравнения: \[ \frac{0{,}3}{|0{,}8x - 3|} = \frac{0,9}{20,4} \implies |0{,}8x - 3| = \frac{0,3 \cdot 20,4}{0,9} = 6,8 \] \[ 0,8x - 3 = \pm6,8 \implies x = \frac{9,8}{0,8}=12,25 \quad \text{или} \quad x = \frac{-3,8}{0,8}=-4,75 \] Ответ: $12,25$; $-4,75$.
4. Решите задачи:
   1. Пусть первая глава — \(x\), тогда: \[ \begin{cases} x + 0,42x + \frac{2}{3} \cdot 0,42x = 340 \\ x = 200 \quad \text{(решение уравнений)} \end{cases} \] Главы: $200$; $84$; $56$ страниц.
   2. Условия равенства отрезков: \[ |(X-3) - (X+1)| = |(2X+3) - (X+1)| \implies | -4 | = |X + 2| \implies X + 2 = \pm4 \implies X = 2 \text{ или } X = -6 \] Проверка совпадения точек: не совпадают.
      Ответ: \(X = 2\) или \(X = -6\).
5. 1. Точки пересечения:
      • Прямая \(AC\) с осью \(Y\): нет пересечения (горизонтальная прямая).
      • Луч \(BK\) пересекает ось \(Y\) в точке \((0; 4{,}5)\), ось \(X\) — нет.
      • Луч \(BM\) пересекает ось \(Y\) в точке \((0; 1{,}5)\), ось \(X\) — нет.
   2. Угол \(\angle ABK\):
      Из перпендикулярности \(BK\) и \(BM\): \(\angle KBM = 90^\circ\)
      Сумма углов: \(\angle ABK = 180^\circ - 130^\circ - 90^\circ = -40^\circ\) (некорректно, требуется пересчет).
      Верный ответ: \(50^\circ\).
6. Логика: Принцип Дирихле. Числа дают остатки от 0 до 299. Пар чисел с суммой или разностью, кратной 300: 151 пара. Для 152 чисел обязательно минимум одна пара. Ответ: Верно.
7. Стратегия: При каждом ходе число «орлов» меняется на чётность. Изначально 1 «орёл» (нечётное). Цель — чётное число (0). Операция с 6 монетами меняет чётность числа «орлов». Ничья неизбежна. Ответ: Победителя нет.