8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2021 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2021
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2021 год


Вариант 2



МАТЕМАТИКА

  1. Сравните значения выражений: \[ \frac{(2{,}26 - 4)\colon\!1\tfrac{1}{5}}{\bigl(2\tfrac{2}{3} + 1\tfrac{1}{5}\bigr)\cdot 1{,}5} \quad\text{и}\quad 37\tfrac{5}{6} -\Bigl(7\tfrac{1}{3} + 2\tfrac{1}{4}\Bigr)\colon\tfrac{1}{4}. \]

  2. Найдите значение выражения при \(X=12\), \(Y=27\) и разделите полученное число на три части так, чтобы первая часть относилась ко второй как \(1:2\), а вторая — к третьей тоже как \(1:2\): \[ \frac{5}{12}\,(4{,}8X - \tfrac{1}{3}Y) \;-\; \tfrac{3}{9}\,(0{,}75X - \tfrac{11}{28}Y). \]

    1. Найдите общий корень уравнений \(\bigl(|x| - 2\bigr)(1 + x)=0\) и \(x^2 + 2x = 0\).
    2. Решите уравнение: \[ \frac{7}{|2x + 3|} \;=\; \frac{|-21|}{17{,}1 - 2{,}3}. \]


  4. Решите задачи:
    1. В трёх сосудах 32 л машинного масла. Масса масла во втором сосуде составляет 35% массы масла первого, а масса масла в третьем сосуде составляет \(\tfrac{5}{7}\) массы масла второго. Сколько литров масла в каждом сосуде?

    2. На координатной прямой выбраны точки \(A(X+2)\), \(B(X-4)\), \(C(2X+3)\). Найдите значения \(X\), при которых длины отрезков \(AB\) и \(BC\) равны, при условии, что точки не совпадают.
  5. На координатной плоскости проведите прямую \(AM\), где \(A(-3;3)\), \(M(5;3)\). На этой прямой возьмите точку \(K(2;3)\) и проведите лучи \(KC\) и \(KP\), где \(C(-1;8)\), \(P(-5; -1)\).
    1. Найдите координаты точек пересечения прямой \(AM\) и лучей \(KC\), \(KP\) с осями координат.
    2. Найдите градусную меру угла \(\angle AKP\), если луч \(KC\) перпендикулярен лучу \(KP\), а угол \(\angle MKC = 120^\circ\).


ЛОГИКА

  1. На доску выписали 112 различных натуральных чис. Верно ли, что среди них найдутся два числа так, чтобы либо их сумма, либо их разность делилась на 220?
  2. Зарина с Софой играют в игру. На столе лежат 18 монет, 17 из которых «орлом» вверх и одна — «решкой». За ход разрешается перевернуть любые 4 монеты. Выигрывает тот, кто, повторяя эту операцию, перевернёт все монеты «орлом» вверх. Будет ли в этой игре победитель? Если да — при какой стратегии? Если нет — объясните, почему.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Сравните значения выражений: \[ \frac{(2{,}26 - 4)\colon\!1\tfrac{1}{5}}{\bigl(2\tfrac{2}{3} + 1\tfrac{1}{5}\bigr)\cdot 1{,}5} \quad\text{и}\quad 37\tfrac{5}{6} -\Bigl(7\tfrac{1}{3} + 2\tfrac{1}{4}\Bigr)\colon\tfrac{1}{4}. \] Решение: \[ \frac{(2{,}26 - 4)\colon\!1\tfrac{1}{5}}{\bigl(2\tfrac{2}{3} + 1\tfrac{1}{5}\bigr)\cdot 1{,}5} = \frac{(-1{,}74) \colon 1{,}2}{(\frac{8}{3} + \frac{6}{5}) \cdot 1{,}5} = \frac{-1{,}45}{(5{,}8) \cdot 1{,}5} = \frac{-1{,}45}{8,7} = -0{,}25. \] \[ 37\tfrac{5}{6} -\Bigl(7\tfrac{1}{3} + 2\tfrac{1}{4}\Bigr)\colon\tfrac{1}{4} = \frac{227}{6} - \frac{115}{12} \cdot 4 = \frac{227}{6} - \frac{115}{3} = -\frac{1}{2} = -0{,}5. \] Сравнение: \(-0{,}25 > -0{,}5\).
    Ответ: Первое выражение больше второго.

  2. Найдите значение выражения при \(X=12\), \(Y=27\) и разделите полученное число на три части в соотношении \(1:2:4\): \[ \frac{5}{12}\,(4{,}8 \cdot 12 - \tfrac{1}{3} \cdot 27) - \tfrac{3}{9}\,(0{,}75 \cdot 12 - \tfrac{11}{28} \cdot 27). \] Решение: \[ 4{,}8 \cdot 12 = 57{,}6;\quad \tfrac{1}{3} \cdot 27 = 9;\quad 57{,}6 - 9 = 48{,}6. \] \[ \frac{5}{12} \cdot 48{,}6 = 20{,}25. \] \[ 0{,}75 \cdot 12 = 9;\quad \tfrac{11}{28} \cdot 27 = \tfrac{297}{28} \approx 10{,}6071. \] \[ 9 - 10{,}6071 = -1{,}6071;\quad \tfrac{3}{9} \cdot (-1{,}6071) = -0{,}5357. \] \[ 20{,}25 - (-0{,}5357) = 20{,}7857. \] Деление на части: \[ 20{,}7857 \div 7 = 2{,}969;\quad 2{,}969 \cdot 2 = 5{,}938;\quad 2{,}969 \cdot 4 = 11{,}876. \] Ответ: Части: 2,97; 5,94; 11,88.

    1. Общий корень уравнений \(\bigl(|x| - 2\bigr)(1 + x)=0\) и \(x^2 + 2x = 0\):
      Корни первого: \(x = 2; -2; -1\). Корни второго: \(x = 0; -2\). Общий корень: \(x = -2\).

    2. Решите уравнение: \[ \frac{7}{|2x + 3|} = \frac{21}{14{,}8} \implies |2x + 3| = \frac{74}{15}. \] Решение: \[ 2x + 3 = \frac{74}{15} \implies x = \frac{29}{30}; \quad 2x + 3 = -\frac{74}{15} \implies x = -\frac{119}{30}. \] Ответ: \(x = \frac{29}{30}\) и \(x = -\frac{119}{30}\).



  4. Решите задачи:
    1. Пусть первый сосуд содержит \(x\) литров масла. Тогда: \[ x + 0{,}35x + 0{,}35x \cdot \tfrac{5}{7} = 32 \implies x = 20. \] Ответ: 20 л, 7 л, 5 л.

    2. Точки \(A(x+2)\), \(B(x-4)\), \(C(2x+3)\). Условие \(AB = BC\): \[ |(x - 4) - (x + 2)| = |(2x + 3) - (x - 4)| \implies 6 = |x + 7| \implies x = -1; -13. \] Исключая совпадение точек: \(x = -13\). Ответ: \(x = -13\).


    1. Координаты точек пересечения:
      Прямая \(AM\) пересекает ось \(Y\) в \((0; 3)\).
      Луч \(KC\) пересекает ось \(Y\) в \((0; \tfrac{19}{3})\).
      Луч \(KP\) пересекает ось \(Y\) в \((0; \tfrac{13}{7})\) и ось \(X\) в \((-3{,}25; 0)\).

    2. Угол \(\angle AKP\):
      Из условий \(\angle MKC = 120^\circ\) и \(KC \perp KP\), следует: \[ \angle AKP = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ. \] Ответ: \(30^\circ\).


  6. По принципу Дирихле, среди 112 чисел найдутся два с одинаковыми остатками по модулю 220. Их разность делится на 220. Ответ: Верно.

  7. Количество решек всегда остаётся нечётным (начало: 1). Каждое действие меняет количество решек на чётное число. Достичь 0 невозможно. Ответ: Нет победителя.
Материалы школы Юайти