8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2021 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2021
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2021 год


Вариант 1



МАТЕМАТИКА

  1. Сравните значения выражений: \[ \frac{(3{,}75 - 5)\,\colon\!1\tfrac{7}{8}}{\bigl(1\tfrac{5}{6} - 1\tfrac{3}{4}\bigr)\cdot 2{,}4} \quad\text{и}\quad \bigl(6\tfrac{1}{2} - 8\tfrac{3}{4}\bigr)\colon\tfrac{1}{8} \;+\;14\tfrac{3}{4}. \]

  2. Найдите значение выражения при \(X = 2\), \(Y = 22\), и разделите полученное число на три части так, чтобы первая часть относилась ко второй как \(1:2\), а вторая часть относилась к третьей также как \(1:2\): \[ -\tfrac{2}{11}\,(3{,}3X - 1{,}5Y) \;-\; 1\tfrac{1}{6}\,(1{,}8X - \tfrac{6}{11}Y). \]

    1. Найдите общий корень уравнений \(\bigl(|x| - 1\bigr)\,(2 - x) = 0\) и \(x^2 + x = 0.\)
    2. Решите уравнение: \[ \frac{5}{|2x - 1{,}5|} \;=\; \frac{|{-}4|}{12{,}5 - 5{,}5}. \]


  4. Решите задачи:
    1. В трёх цехах фабрики работают 480 человек. Во втором цехе работает 36% числа работников первого цеха, а в третьем цехе работает \(\tfrac{2}{3}\) числа работников второго цеха. Сколько человек работает в каждом цехе?

    2. На координатной прямой выбраны точки \(A(X+2)\), \(B(X-4)\), \(C(2X+3)\). Найдите значения \(X\), при которых длины отрезков \(AB\) и \(AC\) равны, при условии, что точки не совпадают.
  5. На координатной плоскости проведите прямую \(AM\), где \(A(2; -3)\), \(M(8; -3)\). На этой прямой возьмите точку \(B(5; -3)\) и проведите лучи \(BC\) и \(BD\), где \(C(1; 3)\), \(D(-2; -6)\).
    1. Найдите координаты точек пересечения прямой и лучей с осями координат.
    2. Найдите градусную меру угла \(\angle ABD\), если луч \(BC\) перпендикулярен лучу \(BD\), а угол \(\angle MBC = 130^\circ\).


ЛОГИКА

  1. На доску выписали 102 различных натуральных числа. Верно ли, что среди них можно найти два числа так, чтобы либо их сумма, либо их разность делилась на 200?
  2. Миша с Аделем играют в игру. На столе лежат 16 монеток, 15 из которых «решкой» вверх и одна — «орлом». За один ход разрешается перевернуть любые 4 монетки. Выигрывает тот, кто, повторяя эту операцию, перевернёт все монетки «решкой» вверх. Будет ли в этой игре победитель? Если да, при какой стратегии? Если нет — объясните почему.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Сравните значения выражений: \[ \frac{(3{,}75 - 5)\,\colon\!1\tfrac{7}{8}}{\bigl(1\tfrac{5}{6} - 1\tfrac{3}{4}\bigr)\cdot 2{,}4} \quad\text{и}\quad \bigl(6\tfrac{1}{2} - 8\tfrac{3}{4}\bigr)\colon\tfrac{1}{8} \;+\;14\tfrac{3}{4}. \] Решение:
    Вычислим первое выражение:
    Числитель: $(3,75 - 5) : 1\frac{7}{8} = (-1,25) \cdot \frac{8}{15} = -\frac{2}{3}$
    Знаменатель: $(1\frac{5}{6} - 1\frac{3}{4}) \cdot 2,4 = \frac{1}{12} \cdot 2,4 = 0,2$
    Результат: $-\frac{2}{3} : 0,2 = -\frac{10}{3} \approx -3,333$

    Второе выражение:
    $(6,5 - 8,75) : \frac{1}{8} + 14,75 = (-2,25 \cdot 8) + 14,75 = -18 + 14,75 = -3,25$
    Сравнение: $-3,333 < -3,25$
    Ответ: первое выражение меньше второго.

  2. Найдите значение выражения при \(X = 2\), \(Y = 22\), и разделите полученное число на три части в соотношении 1:2:4: \[ -\tfrac{2}{11}\,(3{,}3X - 1{,}5Y) \;-\; 1\tfrac{1}{6}\,(1{,}8X - \tfrac{6}{11}Y). \] Решение:
    Подставляем значения:
    $- \frac{2}{11}(3,3 \cdot 2 - 1,5 \cdot 22) - \frac{7}{6}(1,8 \cdot 2 - \frac{6}{11} \cdot 22)$
    $= -\frac{2}{11}(6,6 - 33) - \frac{7}{6}(3,6 - 12) = 4,8 + 9,8 = 14,6$
    Разделяем на части:
    Всего частей: $1 + 2 + 4 = 7$
    Часть 1: $\frac{14,6}{7} \approx 2,0857$
    Часть 2: $2 \cdot 2,0857 \approx 4,1714$
    Часть 3: $4 \cdot 2,0857 \approx 8,3428$
    Ответ: $\approx2,09$; $\approx4,17$; $\approx8,34$.

    1. Найдите общий корень уравнений: \[ \bigl(|x| - 1\bigr)\,(2 - x) = 0 \quad \text{и} \quad x^2 + x = 0. \] Решение:
      Корни первого уравнения: $x = \pm1, 2$
      Корни второго уравнения: $x = 0, -1$
      Общий корень: $x = -1$
      Ответ: $-1$
    2. Решите уравнение: \[ \frac{5}{|2x - 1{,}5|} = \frac{|{-}4|}{12{,}5 - 5{,}5}. \] Решение:
      Правая часть: $\frac{4}{7}$
      $|2x - 1,5| = \frac{5 \cdot 7}{4} = 8,75$
      $2x = 1,5 \pm 8,75$
      $x = \frac{10,25}{2} = 5,125$ или $x = \frac{-7,25}{2} = -3,625$
      Ответ: $5,125$; $-3,625$.



  4. Решите задачи:
    1. В трёх цехах фабрики работают 480 человек. Пусть в первом цехе работает \(x\) человек. Тогда второй цех: \(0,36x\), третий цех: \(\frac{2}{3} \cdot 0,36x = 0,24x\).
      Уравнение: \(x + 0,36x + 0,24x = 1,6x = 480\) \(x = 300\) Ответ: 300; 108; 72.
    2. Найдите \(X\), при которых \(AB = AC\):
      \(AB = |(X-4) - (X+2)| = |-6| = 6\) \(AC = |2X+3 - (X+2)| = |X + 1|\) \(6 = |X + 1| \quad \Rightarrow X = 5\) или \(X = -7\) Проверка на совпадение точек при \(X = -7\): \(B(-11)\), \(C(-11)\) — недопустимо. Ответ: \(5\).

  5. Координатная плоскость:
    1. Координаты пересечений:
      Прямая \(AM\): горизонтальная линия \(y = -3\), пересекает ось \(Ox\) в \((-\infty; -3)\). Конкретное пересечение отсутствует в пределах отрезка. Луч \(BC\) пересекает ось \(Ox\) в \((3; 0)\), ось \(Oy\) в \((0; 4,5)\). Луч \(BD\) пересекает ось \(Ox\) в \((12; 0)\), ось \(Oy\) в \((0; -\frac{36}{7})\).
    2. Градусная мера угла \(\angle ABD\): Условие перпендикулярности \(BC \perp BD\) и \(\angle MBC = 130^\circ\). \(\angle ABD = 180^\circ - (130^\circ + 90^\circ) = -40^\circ\) (корректировка требует геометрического построения). Исправленный расчёт: \( \angle ABD = 40^\circ \).



  6. Верно ли, что среди 102 чисел найдутся два с суммой или разностью, кратной 200? Ответ: Верно (принцип Дирихле).

  7. Стратегия игры с монетами: Ответ: Нет победителя, так как изменение чётности количества "решек" невозможно (нечётное → чётное за нечётное число ходов).

Материалы школы Юайти