8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2020 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2020
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2020 год


Вариант 1



  1. Найдите $24\%$ от значения выражения \[ 14\frac{1}{8} \;-\; 2\frac{1}{4}\,\cdot\bigl(1\frac{1}{3}:2\frac{1}{4}+2\bigr). \]
    1. Упростите выражение и найдите его значение при \(a = 5\frac{1}{3}\): \[ 6\cdot\Bigl(\tfrac{2}{3}a - \tfrac{1}{6}\Bigr) - 4\Bigl(\tfrac{3}{4}a - \tfrac{1}{12}\Bigr); \]
    2. Разделить полученное число в отношении \[ 0{,}5 : \tfrac{3}{4}. \]
  3. Решить уравнения:
    1. \(\displaystyle \frac{3{,}1}{2x - 1} = \frac{-5{,}7}{3x - 2};\)
    2. \(\displaystyle \bigl|\,|x - 1| - 5\bigr|\;\cdot\;(4 - 7x) \;=\; 0.\)
  4. Решить задачи:
    1. Две стороны треугольника относятся как \(3:4:5\). Найдите периметр треугольника, если разность его наибольшей и наименьшей сторон равна \(12\) см.
    2. В первый день велосипедист проехал \(\tfrac{3}{8}\) намеченного пути, во второй день — \(40\%\) оставшегося пути, а в третий день последние \(X\) км. Выразите через \(X\) путь, пройденный велосипедистом за первые два дня, упростите полученное выражение и найдите его значение при \(X = 12\).
  5. Даны точки \(A(-a; b)\), \(B(a; -b)\), \(C(3a; b)\), где \(a \neq 0\), \(b \neq 0\). Сделайте чертёж и найдите координаты точек пересечения сторон треугольника \(ABC\) с осями координат.
  6. Все натуральные числа от 1 до $12^2$ последовательно в порядке возрастания расставлены в клетки таблицы размером $12\times12$. Как нужно вычеркнуть одну строку и один столбец так, чтобы сумма всех оставшихся чисел была чётной?
    Для решения этой задачи нет необходимости точно считать суммы. Необходимо привести подробное обоснование, т.~е. объяснить, почему именно так надо вычеркивать (частные случаи как доказательство общего утверждения не принимаются) и чётко сформулировать общее правило вычеркивания.

  7. Известно, что \[ (a - b + 2002),\quad (b - c + 2002)\quad\text{и}\quad(c - a + 2002) \] являются тремя последовательными целыми числами. Найдите эти числа.


    Решение необходимо привести в общем виде. Ответы, полученные с помощью подбора, не принимаются. Числа $a,b,c$ находить не нужно.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите $24\%$ от значения выражения \[ 14\frac{1}{8} \;-\; 2\frac{1}{4}\,\cdot\bigl(1\frac{1}{3}:2\frac{1}{4}+2\bigr). \] Решение: \[ 14\frac{1}{8} - 2\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{4}{3}:\frac{9}{4} + 2\right) = \frac{113}{8} - \frac{9}{4} \cdot \left(\frac{16}{27} + 2\right) = \frac{113}{8} - \frac{9}{4} \cdot \frac{70}{27} = \frac{113}{8} - \frac{35}{6} = \frac{339 - 140}{24} = \frac{199}{24}. \] $24\%$ от $\frac{199}{24}$: \[ 0,24 \cdot \frac{199}{24} = \frac{199}{100} = 1,99. \] Ответ: $1,99$.
    1. Упростите выражение: \[ 6\cdot\Bigl(\tfrac{2}{3}a - \tfrac{1}{6}\Bigr) - 4\Bigl(\tfrac{3}{4}a - \tfrac{1}{12}\Bigr) = 4a - 1 - 3a + \frac{1}{3} = a - \frac{2}{3}. \] При $a = 5\frac{1}{3} = \frac{16}{3}$: \[ \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} \quad (4\frac{2}{3}). \] Ответ: $\frac{14}{3}$.
    2. Разделить $\frac{14}{3}$ в отношении $0,5 : \tfrac{3}{4} = 2 : 3$: \[ \frac{14}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{28}{15}, \quad \frac{14}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{14}{5}. \] При $X = 12$: \[ \text{Путь за два дня} = \frac{5}{3}X = \frac{5}{3} \cdot 12 = 20 \text{ км}. \] Ответ: $\frac{28}{15}$ и $\frac{14}{5}$; при $X=12$ — $20$ км.
  3. Решить уравнения:
    1. $\frac{3,1}{2x - 1} = \frac{-5,7}{3x - 2}$: \[ 3,1(3x - 2) = -5,7(2x - 1) \implies 20,7x = 11,9 \implies x = \frac{119}{207}. \] Ответ: $\frac{119}{207}$.
    2. $\bigl|\,|x - 1| - 5\bigr|\cdot(4 - 7x) = 0$:
      $4 - 7x = 0 \implies x = \frac{4}{7}$ (проверка подходит).
      $\bigl|\,|x - 1| - 5\bigr| = 0 \implies |x - 1| = 5 \implies x = 6$ или $x = -4$. Ответ: $x = \frac{4}{7}, 6, -4$.
  4. Решить задачи:
    1. Периметр треугольника:
      Разность наибольшей и наименьшей сторон: $5k - 3k = 2k = 12 \implies k = 6$.
      Периметр: $12k = 72$ см. Ответ: $72$ см.
    2. Весь путь $S = \frac{8X}{3}$. За первые два дня: $\frac{5}{8}S = \frac{5X}{3}$.
      При $X = 12$: $\frac{5}{3} \cdot 12 = 20$ км. Ответ: $20$ км.
  5. Координаты пересечений:
    Сторона $AB$ пересекает оси в $(0,0)$.
    Сторона $BC$ пересекает ось $Y$ в $(0, -2b)$, ось $X$ в $(2a, 0)$.
    Сторона $AC$ не пересекает ось $X$, пересекает ось $Y$ в $(0, b)$. Ответ: $(0,0)$, $(0,-2b)$, $(2a,0)$, $(0,b)$.
  6. Для чётности суммы требуется вычеркнуть строку и столбец с чётными суммами. Все строки и столбцы имеют чётные суммы, поэтому сумма оставшихся чисел чётна при любом вычеркивании. Ответ: вычеркнуть любую строку и любой столбец.
  7. Три последовательных числа:
    Сумма выражений: $(a - b + 2002) + (b - c + 2002) + (c - a + 2002) = 6006$.
    Три последовательных числа: $2001, 2002, 2003$. Ответ: $2001, 2002, 2003$.
Материалы школы Юайти