8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2019 год вариант 4

Сложность:
Дата экзамена: 2019
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2019 год


Вариант 4



Часть 1. Математика

  1. Выполни действия и раздели полученное число в отношении \(0{,}2:0{,}3\): \[ 3{,}7 + 0{,}1 \;\colon\;\bigl(\tfrac{5}{36} + 12 - \tfrac{7}{15}\cdot\tfrac{1}{6} - 2{,}3\bigr). \]
  2. Решить уравнение: \[ \begin{aligned} \text{a)}\quad 1 - \bigl(\tfrac{1}{2}x - 3^{\tfrac{2}{5}}x\bigr) &= \tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{1}{3}x + 2^{\tfrac{1}{2}}\bigr) - 2\,\tfrac{7}{15}x,\\ \text{б)}\quad \frac{\bigl|-\,|x^2 - 5|\bigr|}{20} &= \frac{\bigl|-7{,}5 + 2{,}9\bigr|}{23}. \end{aligned} \]
  3. Упростите выражение и найдите его значение при \(x=0{,}7\): \[ \tfrac{1}{9}(3x - 9)\;-\;2\,\tfrac{1}{3}(x - 1{,}8). \]
  4. Число 6,25 разбили на три слагаемых, причём второе слагаемое на 25 % больше первого, а третье слагаемое на 1 больше второго. Найдите эти слагаемые.
  5. Вычислить площадь треугольника \(M P K\) с вершинами в точках \(M(-2;5)\), \(P(-4;-2)\), \(K(3;0)\), заключив его в прямоугольник, взяв за единичный отрезок длину одной клетки по осям \(OX\) и \(OY\).


Часть 2. Логика

  1. Верно ли, что среди 20 разных натуральных чисел всегда найдутся два числа, разность которых делится на 19?
  2. В 5 «А» классе на опросе по истории 28 человек получили отметки; в 5 «Б» классе такое же число человек получили отметки по тому же предмету. В 5 «А» пятёрки получили столько же учеников, сколько в 5 «В» четвёрки; четвёрки — столько же, сколько в 5 «В» тройки; тройки — столько же, сколько в 5 «В» двойки; и двойки — столько же, сколько в 5 «В» пятёрки. При этом средний балл за опрос в 5 «А» и 5 «В» одинаковый. Сколько учеников получили пятёрки в 5 «В»?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Выполни действия и раздели полученное число в отношении \(0{,}2:0{,}3\): \[ 3{,}7 + 0{,}1 \;\colon\;\bigl(\tfrac{5}{36} + 12 - \tfrac{7}{15}\cdot\tfrac{1}{6} - 2{,}3\bigr). \]
    Решение:
    Вычислим значение выражения поэтапно: \[ \begin{aligned} \tfrac{5}{36} + 12 - \tfrac{7}{15} \cdot \tfrac{1}{6} - 2{,}3 &= \tfrac{5}{36} + \tfrac{432}{36} - \tfrac{7}{90} - \tfrac{23}{10} = \tfrac{437}{36} - \tfrac{7}{90} - \tfrac{23}{10} \\ &= \tfrac{437 \cdot 5 - 14}{180} - \tfrac{414}{180} = \tfrac{2165 - 14 - 414}{180} \\ &= \tfrac{1737}{180} = 9{,}65. \end{aligned} \]
    Затем: \[ 0{,}1 \;\colon\; 9{,}65 \approx 0{,}01036. \]
    Прибавляем к 3,7: \[ 3{,}7 + 0{,}01036 \approx 3{,}71036. \]
    Для деления в отношении \(0{,}2:0{,}3\) находим коэффициенты: \[ \begin{aligned} 0{,}2 : 0{,}3 &= \tfrac{2}{5}:\tfrac{3}{5} = 2:3, \\ 3{,}71036 \;\colon\; (2 + 3) &= 0{,}742072 \text{ (одна часть)}, \\ 0{,}742072 \cdot 2 &= 1{,}48414, \\ 0{,}742072 \cdot 3 &\approx 2{,}22622. \end{aligned} \]
    Ответ: \(1{,}48:2{,}23\) (округляем до сотых).
  2. Решить уравнение: \[ \text{а)}\quad 1 - \bigl(\tfrac{1}{2}x - 3^{\tfrac{2}{5}}x\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{1}{3}x + 2^{\tfrac{1}{2}}\bigr) - 2\,\tfrac{7}{15}x. \]
    Решение: \[ \begin{aligned} 1 - \tfrac{1}{2}x + 3^{0{,}4}x &= \tfrac{1}{6}x + \tfrac{\sqrt{2}}{2} - \tfrac{37}{15}x, \\ x\left(-\tfrac{1}{2} + 3^{0{,}4} - \tfrac{1}{6} + \tfrac{37}{15}\right) &= 1 - \tfrac{\sqrt{2}}{2}, \\ x \approx \tfrac{1 - \tfrac{\sqrt{2}}{2}}{0{,}5} &\approx \tfrac{0{,}2929}{0{,}5} \approx 0{,}5858. \end{aligned} \]
    Ответ: \(x \approx 0{,}59\).
    \[ \text{б)}\quad \frac{\bigl|-\,|x^2 - 5|\bigr|}{20} = \frac{\bigl|-7{,}5 + 2{,}9\bigr|}{23}. \]
    Решение: \[ \begin{aligned} \tfrac{|x^2 - 5|}{20} &= \tfrac{4{,}6}{23} = 0{,}2, \\ |x^2 - 5| &= 4, \\ x^2 &= 9 \quad \text{или} \quad x^2 = 1, \\ x &= \pm3 \quad \text{или} \quad x = \pm1. \end{aligned} \]
    Ответ: \(x = \pm3; \pm1\).
  3. Упростите выражение и найдите его значение при \(x=0{,}7\): \[ \tfrac{1}{9}(3x - 9)\;-\;2\,\tfrac{1}{3}(x - 1{,}8). \]
    Решение: \[ \begin{aligned} \tfrac{1}{9}(3x - 9) - \tfrac{7}{3}(x - 1{,}8) &= \tfrac{x}{3} - 1 - \tfrac{7}{3}x + 4{,}2 \\ &= -2x + 3{,}2. \end{aligned} \]
    Подставляем \(x = 0{,}7\): \[ -2 \cdot 0{,}7 + 3{,}2 = -1{,}4 + 3{,}2 = 1{,}8. \]
    Ответ: \(1{,}8\).
  4. Число 6,25 разбили на три слагаемых. Второе слагаемое на 25% больше первого, третье на 1 больше второго.
    Решение: \[ \begin{aligned} \text{Пусть первое слагаемое } x, \\ \text{Второе: }1{,}25x, \\ \text{Третье: }1{,}25x + 1, \\ x + 1{,}25x + 1{,}25x + 1 &= 6{,}25, \\ 3{,}5x &= 5{,}25, \\ x &= 1{,}5. \end{aligned} \]
    Слагаемые: \(1{,}5\); \(1{,}875\); \(2{,}875\).
    Ответ: \(1{,}5\); \(1{,}875\); \(2{,}875\).
  5. Вычислить площадь треугольника \(M P K\) с вершинами \(M(-2;5)\), \(P(-4;-2)\), \(K(3;0)\).
    Решение: Используем формулу площади треугольника через координаты: \[ \begin{aligned} S &= \tfrac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|, \\ S &= \tfrac{1}{2} |(-2)(-2 - 0) + (-4)(0 - 5) + 3(5 - (-2))| \\ &= \tfrac{1}{2} |4 + 20 + 21| = \tfrac{1}{2} \cdot 45 = 22{,}5. \end{aligned} \]
    Ответ: \(22{,}5\).
  6. Верно ли, что среди 20 натуральных чисел найдутся два с разностью, кратной 19?
    Решение: По принципу Дирихле, остатки при делении на 19 — 19 вариантов. У 20 чисел найдутся два с одинаковым остатком. Разность таких чисел делится на 19.
    Ответ: Да.
  7. Сколько учеников получили пятёрки в 5 «В»?
    Решение: Пусть количество оценок в 5 «А»: \(a_5\), \(a_4\), \(a_3\), \(a_2\). В 5 «В» будет: \(a_4\), \(a_3\), \(a_2\), \(a_5\). Средний балл одинаков: \[ \tfrac{5a_5 + 4a_4 + 3a_3 + 2a_2}{28} = \tfrac{5a_4 + 4a_3 + 3a_2 + 2a_5}{28}. \]
    Сократив, получим \(3a_5 = a_4 + a_3 + a_2\). Учитывая, что общее число учеников 28: \(a_5 + a_4 + a_3 + a_2 = 28\). При \(a_5 = 7\), уравнение выполняется: \(3 \cdot 7 = 21\), \(7 + 14 = 21\).
    Ответ: 7.
Материалы школы Юайти