Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2019 год вариант 3

ЛИЦЕЙ КФУ

2019 год

Вариант 3

Часть 1. Математика

1. Выполните действия и разделите полученное число в отношении \( \tfrac{1}{5}:0{,}3\): \[ \bigl(3\tfrac{1}{56} - 1\tfrac{10}{63}\cdot 3 + 1{,}125\bigr)\cdot 0{,}15 + 0{,}05. \]
2. Решить уравнение: \[ \begin{aligned} \text{a)}\quad &2\bigl(\tfrac{1}{5}x + 1\bigr) + 3^{\tfrac{1}{3}} = 4 - \tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{4}{5}x - 1\bigr),\\ \text{б)}\quad &\frac{\bigl|-1 - x^2\bigr|}{0{,}5} = \frac{\bigl|1{,}4 - 2{,}6\bigr|}{0{,}2}. \end{aligned} \]
3. Упростите выражение и найдите его значение при \(x=0{,}75\): \[ \frac{2}{3}(x - 6) - \frac{5}{9}(0{,}6x - 2{,}7). \]
4. Число 2,9 разбили на три слагаемых, причём второе слагаемое на 20 % меньше первого, а третье слагаемое на 1 меньше второго. Найдите эти слагаемые.
5. Вычислить площадь треугольника \(ABC\) с вершинами в точках \(A(1;5)\), \(B(4;-1)\), \(C(-3;0)\), заключив его в прямоугольник, взяв за единичный отрезок длину одной клетки по осям \(OX\) и \(OY\).

Часть 2. Логика

1. Верно ли, что среди 15 различных простых чисел всегда найдутся два числа, разность которых делится без остатка на 14?
2. У Петра в электронном журнале стоит 32 отметки по истории; у Тани — такое же число отметок по истории. Петр получил пятёрок столько же, сколько Таня четвёрок; четвёрок — столько же, сколько Таня троек; троек — столько же, сколько Таня двоек; а двоек — столько же, сколько Таня пятёрок. При этом средний балл у этих учеников одинаковый. Сколько пятерок получила Таня?

Решения задач

1. Выполните действия и разделите полученное число в отношении \( \tfrac{1}{5}:0{,}3 \): \[ \bigl(3\tfrac{1}{56} - 1\tfrac{10}{63}\cdot 3 + 1{,}125\bigr)\cdot 0{,}15 + 0{,}05 \] Решение: Переведём смешанные числа в дроби: \[ 3\tfrac{1}{56} = \frac{169}{56}, \quad 1\tfrac{10}{63} = \frac{73}{63} \] Последовательно выполним действия в скобках: \[ \frac{73}{63} \cdot 3 = \frac{73}{21}, \quad \frac{169}{56} - \frac{73}{21} = \frac{169 \cdot 3 - 73 \cdot 8}{168} = -\frac{77}{168} \] \[ -\frac{77}{168} + 1{,}125 = \frac{112}{168} = \frac{2}{3} \] Умножим на 0,15 и прибавим 0,05: \[ \frac{2}{3} \cdot 0{,}15 + 0{,}05 = 0{,}1 + 0{,}05 = 0{,}15 \] Отношение \( \tfrac{1}{5}:0{,}3 = \tfrac{2}{3} \). Разделим 0{,}15 в отношении \(2:3\): \[ 0{,}15 \cdot \tfrac{2}{5} = 0{,}06; \quad 0{,}15 \cdot \tfrac{3}{5} = 0{,}09 \] Ответ: \(0{,}06\) и \(0{,}09\).
   
   
2. Решите уравнения:
   1. \(2\bigl(\tfrac{1}{5}x + 1\bigr) + 3^{\tfrac{1}{3}} = 4 - \tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{4}{5}x - 1\bigr)\) Решение: Раскроем скобки: \[ \tfrac{2}{5}x + 2 + \sqrt[3]{3} = 4 - \tfrac{2}{5}x + \tfrac{1}{2} \] Перенесём слагаемые с \(x\): \[ \tfrac{4}{5}x = 4{,}5 - 2 - \sqrt[3]{3} \quad \Rightarrow \quad x = \tfrac{5}{4}(2{,}5 - \sqrt[3]{3}) \] Ответ: \( x = \tfrac{5}{4}(2{,}5 - \sqrt[3]{3}) \).
      
      
   2. \(\frac{\bigl|-1 - x^2\bigr|}{0{,}5} = \frac{\bigl|1{,}4 - 2{,}6\bigr|}{0{,}2}\) Решение: Упростим правую часть: \[ \frac{1{,}2}{0{,}2} = 6 \quad \Rightarrow \quad |-1 - x^2| = 3 \] Решим уравнение: \[ x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2} \] Ответ: \( x = \pm \sqrt{2} \).
   
   
   
3. Упростите выражение и найдите его значение при \(x=0{,}75\): \[ \frac{2}{3}(x - 6) - \frac{5}{9}(0{,}6x - 2{,}7) \] Решение: Раскроем скобки и упростим: \[ \frac{2}{3}x - 4 - \frac{1}{3}x + 1{,}5 = \frac{1}{3}x - 2{,}5 \] Подставим \(x = 0{,}75\): \[ \frac{1}{3} \cdot 0{,}75 - 2{,}5 = -2{,}25 \] Ответ: \(-2{,}25\).
   
   
4. Число 2,9 разбили на три слагаемых. Решение: Пусть первое слагаемое \(x\). Тогда: \[ x + 0{,}8x + (0{,}8x - 1) = 2{,}9 \quad \Rightarrow \quad 2{,}6x = 3{,}9 \quad \Rightarrow \quad x = 1{,}5 \] Слагаемые: \(1{,}5\); \(1{,}2\); \(0{,}2\). Ответ: \(1{,}5\); \(1{,}2\); \(0{,}2\).
   
   
5. Вычислите площадь треугольника \(ABC\): Решение: По формуле через координаты: \[ S = \frac{1}{2}|1(-1 - 0) + 4(0 - 5) + (-3)(5 + 1)| = \frac{1}{2} \cdot 39 = 19{,}5 \] Ответ: \(19{,}5\) кв.ед.
   
   
6. Верно ли, что среди 15 различных простых чисел найдутся два с разностью, кратной 14? Решение: Рассмотрим остатки простых чисел при делении на 14. По принципу Дирихле, среди 15 чисел найдутся два с одинаковым остатком. Ответ: Да.
   
   
7. Определите, сколько пятерок получила Таня. Решение: Пусть \(a\) — количество пятёрок. Из условия среднего балла: \[ 3a = b + c + d \quad \text{и} \quad a + b + c + d = 32 \quad \Rightarrow \quad a = 16 \] Ответ: 16.