8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2019 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2019
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2019 год


Вариант 2



Часть 1. Математика

  1. Выполните действия и разделите полученное число в отношении \(0{,}2:0{,}3\): \[ \bigl(2\tfrac{5}{72}\cdot 2 - 5\tfrac{4}{45} + 0{,}2\bigr):0{,}75 + 1{,}25. \]
  2. Решить уравнение: \[ \begin{aligned} \text{a)}\quad &5 - \bigl(\tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{3}\bigr)\cdot 6 = 2\tfrac{1}{3}x - 5\tfrac{1}{2},\\ \text{б)}\quad &\frac{\bigl|-x^2 - 2\bigr|}{7} = \frac{0{,}2}{\bigl|-1{,}4 + 0{,}7\bigr|}. \end{aligned} \]
  3. Упростите выражение и найдите его значение при \(y = -1\tfrac{7}{8}\): \[ \frac{4}{7}(1{,}4y - 3{,}5) + 1{,}2(3 - 2y). \]
  4. Число 3 разбили на три слагаемых, причём второе слагаемое на 25 % меньше первого, а третье слагаемое на 1 меньше второго. Найдите эти слагаемые.
  5. Вычислить площадь треугольника \(MPR\) с вершинами в точках \(M(-3;-1)\), \(P(0;5)\), \(K(2;-3)\), заключив его в прямоугольник, взяв за единичный отрезок длину одной клетки по осям \(OX\) и \(OY\).


Часть 2. Логика

  1. Верно ли, что среди 14 разных натуральных чисел всегда найдутся два числа, разность которых делится на 13?
  2. В 6 А классе на опросе по математике 36 человек получили отметки; в 6 В классе такое же число человек получило отметки по тому же предмету. В 6 А пятёрки получили столько же учеников, сколько в 6 В четвёрки; четвёрки — столько же, сколько в 6 В тройки; тройки — столько же, сколько в 6 В двойки; а двойки получили столько же учеников, сколько в 6 В пятёрки. При этом средний балл за опрос в 6 А и в 6 В одинаковый. Сколько учеников получили двойки в 6 А?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Выполните действия и разделите полученное число в отношении \(0{,}2:0{,}3\): \[ \bigl(2\tfrac{5}{72}\cdot 2 - 5\tfrac{4}{45} + 0{,}2\bigr):0{,}75 + 1{,}25. \] Решение:
    Переведём смешанные дроби в неправильные:
    \(2\tfrac{5}{72} = \frac{149}{72}\), \(5\tfrac{4}{45} = \frac{229}{45}\).
    Выполним действия поэтапно: \[ 2\tfrac{5}{72} \cdot 2 = \frac{149}{72} \cdot 2 = \frac{298}{72} = \frac{149}{36} = 4\tfrac{5}{36} \] \[ 4\tfrac{5}{36} - 5\tfrac{4}{45} = \frac{149}{36} - \frac{229}{45} = \frac{745 - 916}{180} = -\frac{171}{180} = -\frac{19}{20} \] \[ -\frac{19}{20} + 0{,}2 = -0{,}95 + 0{,}2 = -0{,}75 \] \[ -0{,}75 : 0{,}75 = -1 \quad \Rightarrow \quad -1 + 1{,}25 = 0{,}25 \] Разделим \(0{,}25\) в отношении \(0{,}2:0{,}3 = 2:3\):
    \(0{,}25 \cdot \frac{2}{5} = 0{,}1\), \(0{,}25 \cdot \frac{3}{5} = 0{,}15\).
    Ответ: \(0{,}1\) и \(0{,}15\).

  2. Решить уравнение: \[ \begin{aligned} \text{a)}\quad &5 - \bigl(\tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{3}\bigr)\cdot 6 = 2\tfrac{1}{3}x - 5\tfrac{1}{2} \end{aligned} \] Решение: \[ 5 - (3x + 2) = \frac{7}{3}x - \frac{11}{2} \] \[ 5 - 3x - 2 = \frac{7}{3}x - \frac{11}{2} \quad \Rightarrow \quad 3 - 3x = \frac{7}{3}x - \frac{11}{2} \] Умножим обе части на 6: \[ 18 - 18x = 14x - 33 \quad \Rightarrow \quad -32x = -51 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{51}{32} = 1\tfrac{19}{32} \] Ответ: \(x = 1\tfrac{19}{32}\).
  3. Упростите выражение и найдите его значение при \(y = -1\tfrac{7}{8}\): \[ \frac{4}{7}(1{,}4y - 3{,}5) + 1{,}2(3 - 2y) \] Решение: \[ \frac{4}{7}(1{,}4y - 3{,}5) = 0{,}8y - 2 \] \[ 1{,}2(3 - 2y) = 3{,}6 - 2{,}4y \] Суммируем: \[ 0{,}8y - 2 + 3{,}6 - 2{,}4y = -1{,}6y + 1{,}6 \] Подстановка \(y = -\frac{15}{8}\): \[ -1{,}6 \cdot (-\frac{15}{8}) + 1{,}6 = 3 + 1{,}6 = 4{,}6 \] Ответ: \(4{,}6\).

  4. Число 3 разбили на три слагаемых. Второе на 25% меньше первого, третье на 1 меньше второго. Найти слагаемые.
    Решение: Пусть первое слагаемое \(x\), тогда второе \(0{,}75x\), третье \(0{,}75x - 1\). \[ x + 0{,}75x + (0{,}75x - 1) = 3 \quad \Rightarrow \quad 2{,}5x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 1{,}6 \] Слагаемые: \(1{,}6\); \(1{,}2\); \(0{,}2\).
    Ответ: \(1{,}6\); \(1{,}2\); \(0{,}2\).

  5. Вычислить площадь треугольника \(MPK\) по координатам \(M(-3;-1)\), \(P(0;5)\), \(K(2;-3)\).
    Решение: Используем формулу площади через координаты: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Подставляем значения: \[ S = \frac{1}{2} \left| (-3)(5 - (-3)) + 0((-3) - (-1)) + 2((-1) - 5) \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \left| -3 \cdot 8 + 0 + 2 \cdot (-6) \right| = \frac{1}{2} | -24 - 12 | = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18 \] Ответ: \(18\) кв.ед.

  6. Верно ли, что среди 14 натуральных чисел найдутся два с разностью, кратной 13?
    Решение: По принципу Дирихле: при делении на 13 возможны остатки от 0 до 12. 14 чисел дают 14 остатков, значит минимум два совпадут. Разность таких чисел делится на 13.
    Ответ: Да.

  7. В классах 6А и 6В одинаковый средний балл. Соотношения оценок: \[ \text{5 в А} = \text{4 в В}, \quad \text{4 в А} = \text{3 в В}, \quad \text{3 в А} = \text{2 в В}, \quad \text{2 в А} = \text{5 в В}. \] Обозначим количество оценок в 6А: \(a_5, a_4, a_3, a_2\). Тогда в 6В: \(a_5 = b_4\), \(a_4 = b_3\), \(a_3 = b_2\), \(a_2 = b_5\). Суммы баллов равны: \[ 5a_5 + 4a_4 + 3a_3 + 2a_2 = 5b_4 + 4b_3 + 3b_2 + 2b_5 \] Подстановка соотношений: \[ 5a_5 + 4a_4 + 3a_3 + 2a_2 = 5a_5 + 4a_4 + 3a_3 + 2a_2 \] Уравнение выполняется при любых значениях, но сумма учеников равна 36: \[ a_5 + a_4 + a_3 + a_2 = 36 \] Система имеет бесконечно много решений. При условии одинаковости среднего, все оценки равны. Ответ: \(6\) учеников.
    Ответ: \(6\).
Материалы школы Юайти