Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2019 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2019 год

Вариант 1

1. Выполните действия и разделите полученное число в отношении \(\dfrac{1}{5}:0{,}3\): \[ \dfrac{0{,}2 - 0{,}8 \cdot \bigl(0{,}65 - \tfrac{1}{24} - 4\tfrac{7}{15}:2\bigr)} {\tfrac{1}{5}:0{,}3}. \]
2. Решить уравнение: $$\begin{aligned} \text{a)}\quad &3\cdot\bigl(\tfrac{1}{2}x - 0{,}2\bigr) - 15\tfrac{1}{15} = 6 - \bigl(\tfrac{2}{3} - 0{,}5x\bigr),\\ \text{б)}\quad &\dfrac{\bigl|-3 - x^2\bigr|}{3} = \dfrac{2{,}8}{\bigl|-0{,}9 - 0{,}5\bigr|}. \end{aligned}$$
3. Упростите выражение и найдите его значение при \(y = -1\tfrac{7}{8}\): \[ \tfrac{7}{9}(1{,}8y - 2{,}7) + 0{,}6\bigl(2 - 3y\bigr). \]
4. Число $6{,}1$ разбили на три слагаемых, причём второе слагаемое на $20 \%$ больше первого, а третье слагаемое на 1 больше второго. Найти эти слагаемые.
5. Вычислить площадь треугольника \(ABC\) с вершинами в точках \(A(-3;2)\), \(B(2;4)\), \(C(0;-1)\), заключив его в прямоугольник, взяв за единичный отрезок длину одной клетки по оси \(OX\) и по оси \(OY\).

1. Верно ли, что среди 11 различных простых чисел всегда найдутся два числа, разность которых делится без остатка на 10?
2. В электронном журнале по истории у Павла стоит 24 отметки; в журнале у Тимура — такое же число отметок по тому же предмету. Павел получил пятёрок столько же, сколько Тимур четвёрок; четвёрок столько же, сколько Тимур троек; троек столько же, сколько Тимур двоек; и двоек столько же, сколько Тимур пятёрок. При этом средний балл у мальчиков одинаковый. Сколько пятёрок стоит у Тимура?

Решения задач

1. Выполните действия и разделите полученное число в отношении \(\dfrac{1}{5}:0{,}3\): \[ \dfrac{0{,}2 - 0{,}8 \cdot \bigl(0{,}65 - \tfrac{1}{24} - 4\tfrac{7}{15}:2\bigr)} {\tfrac{1}{5}:0{,}3} \] Решение: Вычислим скобки в числителе: \[ 4\frac{7}{15} : 2 = \frac{67}{15} : 2 = \frac{67}{30} = 2\frac{7}{30} \] Подставим в выражение: \[ 0{,}65 - \frac{1}{24} - \frac{67}{30} = \frac{13}{20} - \frac{1}{24} - \frac{67}{30} \] Приведём к общему знаменателю (120): \[ \frac{78 - 5 - 268}{120} = \frac{-195}{120} = -\frac{13}{8} = -1{,}625 \] Умножаем на \(0{,}8\): \[ 0{,}8 \cdot (-1{,}625) = -1{,}3 \] Числитель: \[ 0{,}2 - (-1{,}3) = 1{,}5 \] Знаменатель: \[ \frac{1}{5} : 0{,}3 = \frac{1}{5} : \frac{3}{10} = \frac{2}{3} \] Результат деления: \[ \frac{1{,}5}{\frac{2}{3}} = 1{,}5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} = 2{,}25 \] Ответ: \(2{,}25\).
   
   
2. Решить уравнение:
   \(\text{a)}\quad 3\cdot\bigl(\tfrac{1}{2}x - 0{,}2\bigr) - 15\tfrac{1}{15} = 6 - \bigl(\tfrac{2}{3} - 0{,}5x\bigr)\)
   Решение: Раскроем скобки и преобразуем: \[ 1{,}5x - 0{,}6 - 15{,}\overline{06} = 6 - 0{,}\overline{6} + 0{,}5x \] Переносим переменные влево, константы вправо: \[ 1{,}5x - 0{,}5x = 21 \implies x = 21 \] Ответ: \(\boxed{21}\).
   
   \(\text{б)}\quad \dfrac{\bigl|-3 - x^2\bigr|}{3} = \dfrac{2{,}8}{\bigl|-0{,}9 - 0{,}5\bigr|}\)
   Решение: \[ \frac{|-3 - x^2|}{3} = \frac{2{,}8}{1{,}4} = 2 \implies |-3 - x^2| = 6 \] Так как \(x^2 \ge 0\), упрощаем: \[ x^2 + 3 = 6 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3} \] Ответ: \(\boxed{\pm\sqrt{3}}\).
   
   
3. Упростите выражение и найдите его значение при \(y = -1\tfrac{7}{8}\): \[ \tfrac{7}{9}(1{,}8y - 2{,}7) + 0{,}6\bigl(2 - 3y\bigr) \] Решение: \[ \frac{7}{9}(1{,}8y - 2{,}7) + 0{,}6(2 - 3y) = \frac{7}{5}y - \frac{21}{10} + \frac{12}{10} - \frac{9}{5}y = -0{,}4y - 0{,}9 \] Подставляем \(y = -1{,}875\): \[ -0{,}4 \cdot (-1{,}875) - 0{,}9 = 0{,}75 - 0{,}9 = -0{,}15 \] Ответ: \(\boxed{-0{,}15}\).
   
   
4. Число 6,1 разбили на три слагаемых: первое \(x\), второе \(1{,}2x\), третье \(1{,}2x + 1\). Составим уравнение: \[ x + 1{,}2x + (1{,}2x + 1) = 6{,}1 \implies 3{,}4x = 5{,}1 \implies x = 1{,}5 \] Слагаемые: \(1{,}5, \ 1{,}8, \ 2{,}8\). Ответ: \(1{,}5\); \(1{,}8\); \(2{,}8\).
   
   
5. Площадь треугольника \(ABC\) найдём по формуле Гаусса: \[ S = \frac{1}{2} \left| (-3)(4 - (-1)) + 2((-1) - 2) + 0(2 - 4) \right| = \frac{1}{2} \left| -15 -6 \right| = \frac{21}{2} = 10{,}5 \] Ответ: \(\boxed{10{,}5}\).
   
   
6. Принцип Дирихле: среди 11 простых чисел минимум два имеют одинаковые остатки при делении на 10. Их разность делится на 10. Ответ: \(\boxed{\text{Да}}\).
   
   
7. Обозначим оценки Павла: П5, П4, П3, П2. По условию: \[ \text{П5 + П4 + П3 + П2} = 24, \quad 5\text{П5} + 4\text{П4} + 3\text{П3} + 2\text{П2} = 5\text{Т5} + 4\text{Т4} + 3\text{Т3} + 2\text{Т2} \] Из систем уравнений получаем: \(\text{Т5} = 6\). Ответ: \(\boxed{6}\).