Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2018 год вариант 4

ЛИЦЕЙ КФУ

2018 год

Вариант 4

Часть 1. Математика

1. Вычислите \[ \frac{21{,}13 * 3{,}8 - 3{,}3 * (39{,}63 - 11{,}1 : 0{,}6)} {0{,}86 * 0{,}2 + 0{,}39 * 0{,}2}. \]
2. Имеется 0,4 кг сплава золота и серебра, содержащий золота в 4 раза меньше, чем серебра. Сколько золота надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 60% серебра?
3. Решите уравнение: \[ \bigl|\lvert x\rvert - 4\bigr| - \lvert -4\rvert - \lvert 4\rvert = 4. \]
4. Найдите три числа, если известно, что первое число относится ко второму как \(7:3\), второе к третьему — как \(12:8\), а разность первого и третьего равна \(2{,}5\).
5. Постройте систему координат на плоскости и отметьте точки \(A(3;3)\), \(B(7;3)\), \(C(7;-7)\), \(D(3;-7)\). Найдите координаты точки пересечения диагоналей четырёхугольника \(ABCD\).

Часть 2. Логика

(привести подробное решение задачи с получением всех вариантов ответов или доказать, что решений не существует)

1. Найдите натуральное двузначное число, которое на 34 больше произведения своих цифр.
2. В одном купе поезда встретились четыре студента: Ник, Бен, Алекс и Макс. Каждый из них знает два языка из четырёх: английский, французский, немецкий и итальянский. Ник не может говорить по-английски, но он стал переводчиком в разговоре Бена и Алекса. Алекс знает итальянский, а Макс — нет, поэтому они общаются по-немецки. Ник, Бен и Макс не могут беседовать втроём на одном языке. Какими языками владел Макс?

Решения задач

1. Вычислите \[ \frac{21{,}13 \cdot 3{,}8 - 3{,}3 \cdot (39{,}63 - 11{,}1 : 0{,}6)}{0{,}86 \cdot 0{,}2 + 0{,}39 \cdot 0{,}2}. \]
   Решение: Вычисляем числитель: \[ 11{,}1 : 0{,}6 = 18{,}5 \] \[ 39{,}63 - 18{,}5 = 21{,}13 \] \[ 3{,}3 \cdot 21{,}13 = 69{,}729 \] \[ 21{,}13 \cdot 3{,}8 = 80{,}294 \] \[ 80{,}294 - 69{,}729 = 10{,}565 \] Вычисляем знаменатель: \[ 0{,}86 \cdot 0{,}2 = 0{,}172 \quad \text{и} \quad 0{,}39 \cdot 0{,}2 = 0{,}078 \] \[ 0{,}172 + 0{,}078 = 0{,}25 \] Итоговое значение: \[ \frac{10{,}565}{0{,}25} = 42{,}26 \]
   Ответ: \(42{,}26\).
   
   
2. Имеется 0,4 кг сплава золота и серебра, содержащий золота в 4 раза меньше, чем серебра. Сколько золота надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 60% серебра?
   Решение: Пусть золота в сплаве \(x\) кг, тогда серебра \(4x\) кг. Всего сплава: \[ x + 4x = 0{,}4 \quad \Rightarrow \quad x = 0{,}08 \, \text{кг} \] После добавления \(y\) кг золота масса сплава станет \(0{,}4 + y\) кг. Уравнение для серебра: \[ \frac{0{,}32}{0{,}4 + y} = 0{,}6 \quad \Rightarrow \quad 0{,}32 = 0{,}6(0{,}4 + y) \] \[ 0{,}32 = 0{,}24 + 0{,}6y \quad \Rightarrow \quad 0{,}08 = 0{,}6y \quad \Rightarrow \quad y = \frac{8}{60} = \frac{2}{15} \, \text{кг} \approx 0{,}133 \, \text{кг} \]
   Ответ: Приблизительно \(0{,}133\) кг (или \(133{,}3\) г).
   
   
3. Решите уравнение: \[ \bigl|\lvert x\rvert - 4\bigr| - \lvert -4\rvert - \lvert 4\rvert = 4. \]
   Решение: Упрощаем уравнение: \[ | |x| - 4 | - 4 -4 = 4 \quad \Rightarrow \quad | |x| - 4 | = 12 \] Рассматриваем два случая:
   1. \( |x| - 4 = 12 \quad \Rightarrow \quad |x| = 16 \quad \Rightarrow \quad x = \pm16 \)
   2. \( |x| - 4 = -12 \quad \Rightarrow \quad |x| = -8 \) (нет решений)
   
   Ответ: \( x = 16 \) или \( x = -16 \).
   
   
4. Найдите три числа, если известно, что первое число относится ко второму как \(7:3\), второе к третьему — как \(12:8\), а разность первого и третьего равна \(2{,}5\).
   Решение: Пусть части: первое число \(7k\), второе \(3k\). Второе к третьему \(12:8 = 3:2 \quad \Rightarrow \quad\) третье число \(2k\). Разность первого и третьего: \[ 7k - 2k = 5k = 2{,}5 \quad \Rightarrow \quad k = 0{,}5 \]
   Ответ: \(3{,}5\), \(1{,}5\), \(1{,}0\).
   
   
5. Постройте систему координат на плоскости и отметьте точки \(A(3;3)\), \(B(7;3)\), \(C(7;-7)\), \(D(3;-7)\). Найдите координаты точки пересечения диагоналей четырёхугольника \(ABCD\).
   Решение: Четырёхугольник \(ABCD\) — прямоугольник. Точка пересечения диагоналей: \[ \left( \frac{3 + 7}{2}, \frac{3 + (-7)}{2} \right) = (5, -2) \]
   Ответ: \((5; -2)\).
   
   
6. Найдите натуральное двузначное число, которое на 34 больше произведения своих цифр.
   Решение: Пусть число \(10a + b\): \[ 10a + b = ab + 34 \quad \Rightarrow \quad (a - 1)(b - 10) = -24 \] Возможные решения: \((a, b)\) = \((4, 2)\), \((5, 4)\), \((7, 6)\), \((9, 7)\).
   Ответ: 42, 54, 76, 97.
   
   
7. Макс владеет немецким и английским. Переводчиком между Беном и Алексом стал Ник, знающий французский и немецкий.
   Ответ: Макс владеет немецким и английским.