8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2018 год вариант 3

Сложность:
Дата экзамена: 2018
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2018 год


Вариант 3



  1. Вычислите \[ \frac{12{,}08 * 1{,}13 - 1{,}1 * (16{,}28 - 16{,}38 : 3{,}9)} {0{,}025 * 11{,}7 - 10{,}1 * 0{,}025}. \]
  2. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 20 кг, содержащий 70% олова. Сколько чистой меди надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 80% меди?
  3. Решите уравнение: \[ \bigl|\lvert x\rvert - 3\bigr| - \lvert -3\rvert - \lvert 3\rvert = 3. \]
  4. Найдите три числа, если известно, что первое число относится ко второму как \(5:4\), второе к третьему — как \(8:3\), а разность первого и третьего равна \(1{,}4\).
  5. Постройте систему координат на плоскости и отметьте точки \(A(2;0)\), \(B(2;-6)\), \(C(-6;-6)\), \(D(-6;0)\). Найдите координаты точки пересечения диагоналей четырёхугольника \(ABCD\).


Часть 2. Логика

(привести подробное решение задачи с получением всех вариантов ответов или доказать, что решений не существует)

  1. Сумма цифр натурального двузначного числа на 19 меньше их произведения. Найдите это число.
  2. Четыре подружки Аня, Катя, Вика и Соня учатся в разных классах. Они и их одноклассники ходят в секцию бадминтона, причём каждая девочка играет в паре с мальчиком, но не со своим одноклассником. Леня играет с Аней, Антон — с одноклассницей Никиты, Катя — с одноклассником Вики, а Вика — с Олегом. Кто с кем играет в паре? Кто с кем учится в одном классе?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите \[ \frac{12{,}08 \cdot 1{,}13 - 1{,}1 \cdot (16{,}28 - 16{,}38 : 3{,}9)} {0{,}025 \cdot 11{,}7 - 10{,}1 \cdot 0{,}025}. \]
    Решение:
    Числитель: \[ 16{,}38 : 3{,}9 = 4{,}2 \quad (16{,}28 - 4{,}2) = 12{,}08 \] \[ 1{,}1 \cdot 12{,}08 = 13{,}288 \quad 12{,}08 \cdot 1{,}13 = 13{,}6504 \] \[ 13{,}6504 - 13{,}288 = 0{,}3624 \] Знаменатель: \[ 0{,}025 \cdot 11{,}7 = 0{,}2925 \quad 10{,}1 \cdot 0{,}025 = 0{,}2525 \] \[ 0{,}2925 - 0{,}2525 = 0{,}04 \] Итог: \[ \frac{0{,}3624}{0{,}04} = 9{,}06 \]
    Ответ: 9,06.

  2. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 20 кг, содержащий 70% олова. Сколько чистой меди надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 80% меди?
    Решение:
    Масса олова в исходном сплаве: \[ 20 \cdot 0{,}7 = 14 \text{ кг} \] Пусть добавили \( x \) кг меди. Новая масса сплава: \[ 20 + x \text{ кг} \] Масса меди в новом сплаве: \[ (20 - 14) + x = 6 + x \text{ кг} \] Концентрация меди: \[ \frac{6 + x}{20 + x} = 0{,}8 \] \[ 6 + x = 0{,}8(20 + x) \] \[ 6 + x = 16 + 0{,}8x \] \[ 0{,}2x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 50 \text{ кг} \]
    Ответ: 50 кг.

  3. Решите уравнение: \[ \bigl|\lvert x\rvert - 3\bigr| - \lvert -3\rvert - \lvert 3\rvert = 3. \]
    Решение:
    Упростим модули: \[ \lvert -3 \rvert = 3, \quad \lvert 3 \rvert = 3 \] Уравнение принимает вид: \[ \bigl|\lvert x\rvert - 3\bigr| - 3 - 3 = 3 \quad \Rightarrow \quad \bigl|\lvert x\rvert - 3\bigr| = 9 \] Рассмотрим два случая:
    1) \(\lvert x \rvert - 3 = 9 \quad \Rightarrow \quad \lvert x \rvert = 12 \quad \Rightarrow \quad x = \pm12\)
    2) \(\lvert x \rvert - 3 = -9 \quad \Rightarrow \quad \lvert x \rvert = -6 \quad \Rightarrow \text{нет решений}\)
    Ответ: \( \pm12 \).

  4. Найдите три числа, если известно, что первое число относится ко второму как \(5:4\), второе к третьему — как \(8:3\), а разность первого и третьего равна \(1{,}4\).
    Решение:
    Обозначим числа как \( a, b, c \). По условию: \[ \frac{a}{b} = \frac{5}{4}, \quad \frac{b}{c} = \frac{8}{3} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{5}{4}b, \quad c = \frac{3}{8}b \] Разность первого и третьего: \[ a - c = \frac{5}{4}b - \frac{3}{8}b = \frac{7}{8}b = 1{,}4 \] \[ b = 1{,}4 \cdot \frac{8}{7} = 1{,}6 \] Тогда: \[ a = \frac{5}{4} \cdot 1{,}6 = 2 \quad c = \frac{3}{8} \cdot 1{,}6 = 0{,}6 \]
    Ответ: 2; 1,6; 0,6.

  5. Постройте систему координат на плоскости и отметьте точки \(A(2;0)\), \(B(2;-6)\), \(C(-6;-6)\), \(D(-6;0)\). Найдите координаты точки пересечения диагоналей четырёхугольника \(ABCD\).
    Решение:
    Четырёхугольник \( ABCD \) — прямоугольник (противоположные стороны параллельны и равны). Координаты точки пересечения диагоналей — середина отрезков \( AC \) и \( BD \): \[ \left( \frac{2 + (-6)}{2}; \frac{0 + (-6)}{2} \right) = \left( -2; -3 \right) \]
    Ответ: \((-2; -3)\).

  6. Сумма цифр натурального двузначного числа на 19 меньше их произведения. Найдите это число.
    Решение:
    Пусть число равно \(10a + b\), где \( a, b \) — цифры. По условию: \[ ab - (a + b) = 19 \quad \Rightarrow \quad ab - a - b = 19 \] Добавим 1 к обеим частям: \[ ab - a - b + 1 = 20 \quad \Rightarrow \quad (a - 1)(b - 1) = 20 \] Возможные пары \((a-1, b-1)\) с учётом \( a \in [1;9], b \in [0;9] \):
    \(5 \times 4 = 20\) — тогда \( a = 6, b = 5 \). Проверка: \(6 + 5 = 11\), \(6 \cdot 5 = 30\), \(30 - 11 = 19\)
    Другие варианты (\(10 \times 2, 20 \times 1\)) не подходят, так как \( b - 1 \) не превысит 9.
    Ответ: 65.

  7. Четыре подружки Аня, Катя, Вика и Соня учатся в разных классах. Они и их одноклассники ходят в секцию бадминтона, причём каждая девочка играет в паре с мальчиком, но не со своим одноклассником. Леня играет с Аней, Антон — с одноклассницей Никиты, Катя — с одноклассником Вики, а Вика — с Олегом. Кто с кем играет в паре? Кто с кем учится в одном классе?
    Решение:
    • Из условия: Вика играет с Олегом ⇒ Вика учится не с Олегом.
    • Катя играет с одноклассником Вики ⇒ Катя из другого класса (т.к. пары не с одноклассниками). Значит, Вика и Соня могут быть в одном классе (т.к. девочки учатся в разных классах).
    • Антон играет с одноклассницей Никиты ⇒ Антон не учится с Никитой, его партнёрша (например, Никитина одноклассница Соня или Аня).
    • Леня играет с Аней ⇒ Аня не учится с Леней. Поскольку у Ании одноклассник не Леня, возможно, её одноклассник Никита. Тогда Антон играет с Соней (одноклассницей Никиты).
    • Катя играет с одноклассником Вики ⇒ класс Вики и Олега ⇒ Катя играет с Никитой (одноклассником Вики), но Олег в их классе.
    Попарная сводка:
    - Аня (с Леней) ⇒ учится не с Леней ⇒ с Никитой.
    - Вика (с Олегом) ⇒ учится в классе с Олегом (?) или нет. Противоречие, т.к. Вика играет с Олегом, значит, Олег не её одноклассник. Следовательно, Вика в одном классе с кем-то другим.
    Пересматриваем: Катя играет с одноклассником Вики. Если Вика учится с Соней, то Катя играет с их одноклассником (допустим, Антон или Никита). Возможное распределение:
    - Класс 1: Аня и Никита.
    - Класс 2: Вика и Соня.
    - Мальчики: Олег (с Викой), Антон (с Соней), Леня (с Аней), Никита (с Катей). Однако Катя играет с одноклассником Вики ⇒ если Вика из класса 2, тогда одноклассником Вики должен быть Антон, Никита или Олег. Но Вика учится с Соней (одна девочка в классе?), нестыковка. Возможно, классы состоят из девочек и мальчиков. Уточним: Финальный вывод:
    - Класс Ани: Аня и Никита.
    - Класс Вики: Вика и Олег.
    - Класс Кати: Катя и Антон.
    - Класс Сони: Соня и Леня (но противоречит условию, что девочки в разных классах). Альтернативно: Корректное решение:
    - Пары: Леня–Аня (Аня не с Леней), Антон–Соня (Соня — одноклассница Никиты ⇒ Никита в классе Сони). Катя–Никита (Никита — одноклассник Вики ⇒ Вика в классе Никиты). Вика–Олег (Олег не её одноклассник).
    Пары: Аня–Леня, Вика–Олег, Катя–Никита, Соня–Антон.
    Классы: Аня и Антон (неверно, т.к. Антон играет с Соней). Переустановка:
    - Класс 1: Аня и Никита (Аня играет с Леней ⇒ Леня не из этого класса).
    - Класс 2: Вика и Олег (Вика играет с Олегом ⇒ противоречие). Следовательно, Вика не может быть в классе с Олегом ⇒ класс Вики и Сони (девочки в разных классах). Итоговый ответ:
    Пары:
    Аня–Леня, Вика–Олег, Катя–Никита, Соня–Антон.
    Одноклассники:
    Аня и Антон; Вика и Никита; Катя и Олег; Соня и Леня. Но противоречие с условием, что Катя играет с одноклассником Вики. Исправление:
    Одноклассники:
    Вика и Никита (Катя играет с Никитой ⇒ Никита — одноклассник Вики);
    Соня и Антон (Антон играет с Соней ⇒ Соня — одноклассница Никиты);
    Аня и Леня; Катя и Олег.
    Окончательный ответ:
    Пары: Аня–Леня, Вика–Олег, Катя–Никита, Соня–Антон.
    Классы: Вика и Никита; Соня и Антон; Аня и Олег; Катя и Леня (но требуется уточнение). В соответствии с условиями, корректный ответ — Катя играет с Никитой (одноклассником Вики), значит, Никита и Вика в одном классе.

Материалы школы Юайти