Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2018 год вариант 2

ЛИЦЕЙ КФУ

2018 год

Вариант 2

Часть 1. Математика

1. Вычислите \[ \frac{15{,}04 * 2{,}5 - 2{,}4 * (85{,}24 - 84{,}24 : 1{,}2)} {0{,}047 * 16{,}9 - 0{,}9 * 0{,}047}. \]
2. Имеется 0,6 кг сплава золота и серебра, содержащий серебра в 5 раз больше, чем золота. Сколько золота надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 50% серебра?
3. Решите уравнение: \[ \bigl|\lvert x\rvert - 1\bigr| - \lvert -1\rvert - \lvert -1\rvert = 1. \]
4. Найдите три числа, если известно, что первое число относится ко второму как \(7:12\), второе к третьему как \(3:5\), а разность первого и третьего равна \(5{,}2\).
5. Постройте систему координат на плоскости и отметьте точки \(A(-2;-3)\), \(B(-2;7)\), \(C(6;7)\), \(D(6;-3)\). Найдите координаты точки пересечения диагоналей четырёхугольника \(ABCD\).

Часть 2. Логика

(привести подробное решение задачи с получением всех вариантов ответов или доказать, что решений не существует)

1. Натуральное двузначное число на 25 больше произведения своих цифр. Какое это число?
2. На международной конференции встретились четыре учёных: физик, биолог, историк и математик. Каждый из них знает два языка из четырёх: русский, английский, французский и итальянский. Никто из учёных не владеет французским и итальянским одновременно. Хотя физик не может говорить по‑английски, он стал переводчиком в разговоре биолога и историка. Историк знает итальянский, а математик — нет, поэтому они общаются по‑русски. Физик, биолог и математик не могут беседовать втроём на одном языке. Как общался с каждым из учёных математик?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{15{,}04 \cdot 2{,}5 - 2{,}4 \cdot (85{,}24 - 84{,}24 : 1{,}2)}{0{,}047 \cdot 16{,}9 - 0{,}9 \cdot 0{,}047} \] Решение:
   В числителе:
   $84,24 : 1,2 = 70,2$
   $85,24 - 70,2 = 15,04$
   $2,4 \cdot 15,04 = 36,096$
   $15,04 \cdot 2,5 = 37,6$
   $37,6 - 36,096 = 1,504$
   В знаменателе:
   $0,047 \cdot (16,9 - 0,9) = 0,047 \cdot 16 = 0,752$
   Итог:
   $\frac{1,504}{0,752} = 2$
   Ответ: 2.
   
   
2. Имеется 0,6 кг сплава золота и серебра, содержащий серебра в 5 раз больше, чем золота. Сколько золота надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 50% серебра?
   Решение:
   Пусть золота в сплаве $x$ кг, тогда серебра $5x$ кг.
   $x + 5x = 0{,}6 \Rightarrow 6x = 0{,}6 \Rightarrow x = 0{,}1$ кг (золота).
   После добавления $a$ кг золота:
   $0{,}5 = \frac{0{,}5}{0{,}6 + a} \cdot 100% \Rightarrow 0{,}5 = 0{,}5(0{,}6 + a)$
   $0{,}6 + a = 1 \Rightarrow a = 0{,}4$ кг.
   Ответ: 0,4 кг.
   
   
3. Решите уравнение: \[ \bigl|\lvert x\rvert - 1\bigr| - \lvert -1\rvert - \lvert -1\rvert = 1 \] Решение:
   $\lvert -1 \rvert = 1$, поэтому:
   $\bigl|\lvert x\rvert -1 \bigr| - 1 -1 =1 \Rightarrow \bigl|\lvert x\rvert -1 \bigr|=3$
   Возможные случаи:
   1) $\lvert x \rvert -1 =3 \Rightarrow \lvert x \rvert =4 \Rightarrow x=\pm4$
   2) $\lvert x \rvert -1 =-3$ — нет решений.
   Ответ: $-4$; $4$.
   
   
4. Найдите три числа, если известно, что первое число относится ко второму как \(7:12\), второе к третьему как \(3:5\), а разность первого и третьего равна \(5{,}2\).
   Решение: Пусть первое число \(7k\), второе \(12k\), третье \(20k\) (т.к. \(12k : 20k = 3:5\)).
   Разность: \(7k - 20k = -13k =5{,}2 \Rightarrow k = -0{,}4\)
   Тогда числа:
   $7k = -2{,}8$, $12k = -4{,}8$, $20k = -8$
   Проверка: \(-2{,}8 - (-8) =5{,}2\)
   Ответ: \(-2{,}8\); \(-4{,}8\); \(-8\).
   
   
5. Постройте систему координат на плоскости и отметьте точки \(A(-2;-3)\), \(B(-2;7)\), \(C(6;7)\), \(D(6;-3)\). Найдите координаты точки пересечения диагоналей четырёхугольника \(ABCD\).
   Решение: Четырёхугольник является прямоугольником. Точка пересечения диагоналей — середина диагоналей:
   Для диагонали \(AC\): \(\left(\frac{-2+6}{2}; \frac{-3+7}{2}\right) = (2; 2)\)
   Ответ: \((2; 2)\).
   
   
6. Натуральное двузначное число на 25 больше произведения своих цифр. Какое это число?
   Решение: Пусть число \(10a + b\). Уравнение:
   \(10a + b = ab + 25 \Rightarrow a = \frac{25 - b}{10 - b}\)
   Перебор \(b\) от 0 до 9:
   \(b=5\): \(a=4\) → число 45.
   \(b=7\): \(a=6\) → число 67.
   Проверка: \(45 - 4\cdot5=25\), \(67 -6\cdot7=25\).
   Ответ: 45; 67.
   
   
7. На международной конференции встретились четыре учёных: физик, биолог, историк и математик. Определение языка:
   Решение:
   
   • Историк: итальянский и русский.
   • Математик: русский и английский.
   • Физик: русский и французский.
   • Биолог: французский и английский.
   Математик общается:
   - С историком по-русски,
   - С физиком по-русски,
   - С биологом по-английски.
   Ответ: С историком — русский, с физиком — русский, с биологом — английский.