8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2018 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2018
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2018 год


Вариант 1



Часть 1. Математика

  1. Вычислите \[ \frac{11{,}2 \times 3{,}06 - 3{,}05 \times (13{,}25 - 3{,}69 : 1{,}8)} {0{,}056 \times 8{,}09 - 3{,}09 \times 0{,}056}. \]
  2. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 20% меди. Сколько чистой меди надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 40% олова?
  3. Решите уравнение: \[ \bigl|\lvert x\rvert - 2\bigr| - 2\,\bigl|\,2 - \lvert x\rvert\bigr| = 2. \]
  4. Найдите три числа, если известно, что первое число относится ко второму как \(4:3\), второе к третьему как \(9:5\), а разность первого и третьего равна \(2{,}1\).
  5. Постройте систему координат на плоскости и отметьте точки \(A(-3;4)\), \(B(9;4)\), \(C(9;-2)\), \(D(-3;-2)\). Найдите координаты точки пересечения диагоналей четырёхугольника \(ABCD\).


Часть 2. Логика

(привести подробное решение задачи с получением всех вариантов ответов или доказать, что решений не существует)

  1. Задумано натуральное двузначное число, которое на 66 больше произведения своих цифр. Какое число задумано?
  2. Четыре мальчика: Андрей, Костя, Витя и Сергей, — все из разных классов, и их одноклассницы ходят на кружок бальных танцев, причём каждый мальчик танцует не в паре со своей одноклассницей. Лена танцует с Андреем, Аня — с одноклассником Наташи, Костя с Витиной одноклассницей, а Витя — с Олей. Кто с кем танцует? Кто с кем учится в одном классе?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите \[ \frac{11{,}2 \times 3{,}06 - 3{,}05 \times (13{,}25 - 3{,}69 : 1{,}8)}{0{,}056 \times 8{,}09 - 3{,}09 \times 0{,}056} \]
    Решение:
    Вычислим числитель и знаменатель отдельно.

    В числителе: \[ 13,25 - \frac{3,69}{1,8} = 13,25 - 2,05 = 11,2 \] \[ 3,05 \times 11,2 = 3,05 \times 11 + 3,05 \times 0,2 = 33,55 + 0,61 = 34,16 \] \[ 11,2 \times 3,06 = 11,2 \times 3 + 11,2 \times 0,06 = 33,6 + 0,672 = 34,272 \] \[ \text{Числитель} = 34,272 - 34,16 = 0,112 \]

    В знаменателе: \[ 0,056 \times (8,09 - 3,09) = 0,056 \times 5 = 0,28 \]

    Итоговое значение: \[ \frac{0,112}{0,28} = 0,4 \]
    Ответ: 0,4.

  2. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 20% меди. Сколько чистой меди надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 40% олова?
    Решение:
    Масса меди в исходном сплаве: \[ 15 \times 0,2 = 3 \text{ кг} \] Масса олова: \[ 15 - 3 = 12 \text{ кг} \] После добавления \( x \) кг меди масса сплава станет \(15 + x\) кг. Доля олова должна быть 40%: \[ \frac{12}{15 + x} = 0,4 \] \[ 12 = 0,4(15 + x) \implies 12 = 6 + 0,4x \implies x = 15 \text{ кг } \]
    Ответ: 15 кг.

  3. Решите уравнение: \[ \bigl|\lvert x\rvert - 2\bigr| - 2\,\bigl|\,2 - \lvert x\rvert\bigr| = 2 \]
    Решение:
    Заметим, что \( \bigl|\,2 - \lvert x\rvert\bigr| = \bigl|\lvert x\rvert - 2\bigr| \). Пусть \( y = \bigl|\lvert x\rvert - 2\bigr| \), тогда уравнение примет вид: \[ y - 2y = 2 \implies -y = 2 \implies y = -2 \] Но \( y \geq 0 \). Значит, уравнение не имеет решений.
    Ответ: Нет решений.

  4. Найдите три числа, если известно, что первое число относится ко второму как \(4:3\), второе к третьему как \(9:5\), а разность первого и третьего равна \(2{,}1\).
    Решение:
    Пусть первое число \(4k\), второе \(3k\). Второе относится к третьему как \(9:5\), значит третье число равно: \[ \frac{5}{9} \times 3k = \frac{5k}{3} \] Условие разности: \[ 4k - \frac{5k}{3} = 2,1 \implies \frac{7k}{3} = 2,1 \implies k = 0,9 \] Числа: \[ 4 \times 0,9 = 3,6; \quad 3 \times 0,9 = 2,7; \quad \frac{5 \times 0,9}{3} = 1,5 \]
    Ответ: 3,6; 2,7; 1,5.

  5. Постройте систему координат на плоскости и отметьте точки \(A(-3;4)\), \(B(9;4)\), \(C(9;-2)\), \(D(-3;-2)\). Найдите координаты точки пересечения диагоналей четырёхугольника \(ABCD\).
    Решение:
    Четырёхугольник ABCD — прямоугольник. Диагонали прямоугольника пересекаются в серединах. Середина диагонали AC: \[ \left( \frac{-3+9}{2}, \frac{4+(-2)}{2} \right) = (3, 1) \]
    Ответ: (3;1).

  6. Задумано натуральное двузначное число, которое на 66 больше произведения своих цифр. Какое число задумано?
    Решение:
    Пусть число \(10a + b\), тогда: \[ 10a + b - ab = 66 \] Преобразуем: \[ ab - 10a - b + 66 = 0 \implies (a - 1)(b - 10) = 56 \] \(a, b\) — цифры (\(1 \leq a \leq 9\), \(0 \leq b \leq 9\)). Возможные разложения 56: \[ 56 = 8 \times 7 = 14 \times 4 = ... \] Учитывая ограничения: \[ a - 1 = 7, \quad b - 10 = 8 \implies a = 8, \quad b = 18 \quad (\text{недопустимо}) \] \[ a - 1 = 8, \quad b - 10 = 7 \implies a = 9, \quad b = 17 \quad (\text{недопустимо}) \] Нет решений. Перепроверяем исходное уравнение: \[ 10a + b = ab + 66 \implies ab -10a - b = -66 \] При \(a=7\): \[ 7b - 70 - b = -66 \implies 6b = 4 \quad \text{не целое} \] При \(a=8\): \[ 8b - 80 - b = -66 \implies 7b = 14 \implies b=2 \implies число\ 82 \] Проверка: \(82 - 8 \times 2 = 82 - 16 = 66\).
    Ответ: 82.

  7. Четыре мальчика: Андрей, Костя, Витя и Сергей, — все из разных классов, и их одноклассницы ходят на кружок бальных танцев, причём каждый мальчик танцует не в паре со своей одноклассницей. Лена танцует с Андреем, Аня — с одноклассником Наташи, Костя с Витиной одноклассницей, а Витя — с Олей. Кто с кем танцует? Кто с кем учится в одном классе?
    Решение:
    Составим таблицу:

    - Лена → Андрей (не его одноклассница). - Витя → Оля (Оля не Витина одноклассница). - Костя → не с Витиной одноклассницей, а Витина одноклассница — Наташа или Аня (но Аня танцует с одноклассником Наташи).

    Предположим: - Одноклассники: Андрей и Наташа (поскольку Аня танцует с одноклассником Наташи). Но Костя танцует с Витиной одноклассницей ⇒ Витина одноклассница — Лена или Оля. Но Лена танцует с Андреем, значит Витина одноклассница — Оля.

    Тогда: - Витя и Оля — одноклассники (но Витя танцует с Олей — противоречие). Значит, ошибка.

    Переформулируем: - Андрей (класс 1), Костя (класс 2), Витя (класс 3), Сергей (класс 4). - Оля, Аня, Лена, Наташа — одноклассницы. - Аня танцует с одноклассником Наташи ⇒ Аня не из класса Наташи. - Костя танцует с Витиной одноклассницей ⇒ Витина одноклассница — например, Наташа или Лена и т.д.

    Итоговое распределение: - Сергей — одноклассник Наташи (Аня танцует с ним). - Витя — Оля (одноклассники). - Костя танцует с Леной (Витина одноклассница — Оля, Костя танцует с Леной). - Андрей танцует с Леной (из условия), но Андрей не из класса Лены.
    Ответ: Пары — Андрей с Леной, Костя с Аней, Витя с Олей, Сергей с Наташей. Классы: Андрей и Наташа, Костя и Аня, Витя и Оля, Сергей и Лена.
Материалы школы Юайти