Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2017 год вариант 2

ЛИЦЕЙ КФУ

2017 год

Вариант 2

1. Вычислите: \[ 20 - \frac{11\tfrac{1}{10}\times 0{,}7 + 10\tfrac{1}{10}\times 1{,}3}{5\tfrac{1}{5}\times \frac{17}{20} - \tfrac{1}{25}\times 63} * 2\tfrac{5}{22}. \]
2. Теплоход проплывает расстояние от пункта \(A\) до пункта \(B\) по течению реки в \(1{,}5\) раза быстрее, чем от пункта \(B\) до пункта \(A\) (против течения). На весь путь туда и обратно он тратит 30 часов. За сколько часов расстояние от \(A\) до \(B\) проплывёт плот?
3. Решите уравнение: \[ x + \tfrac{1}{8}\bigl(x - \tfrac{4}{5}(x + \tfrac{7}{9})\bigr) = \frac{2x - 1}{6}. \]
4. Первое число равно 60, второе в \(1{,}25\) раза больше первого, а третье составляет \(40\%\) суммы первого и второго. Найдите среднее арифметическое этих чисел.
5. Найдите площадь треугольника \(ABC\) с координатами \(A(2;2)\), \(B(1;6)\) и \(C(6;3)\).
   Логика
6. Имеется 11 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 3 или 7 частей, некоторые из образовавшихся снова разрезали на 3 или 7 частей. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 частей? Ответ объясните.
7. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет (отдал второму), потом второй проиграл половину своих, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось 17 монет, а у второго — 39. Сколько монет было у первого пирата до начала игры?

Решения задач

1. Вычислите: \[ 20 - \frac{11\tfrac{1}{10} \times 0{,}7 + 10\tfrac{1}{10} \times 1{,}3}{5\tfrac{1}{5} \times \frac{17}{20} - \tfrac{1}{25} \times 63} \times 2\tfrac{5}{22}. \]
   Решение: Переведём смешанные числа в дроби:
   $11\tfrac{1}{10} = \frac{111}{10}$, $10\tfrac{1}{10} = \frac{101}{10}$, $5\tfrac{1}{5} = \frac{26}{5}$, $2\tfrac{5}{22} = \frac{49}{22}$.
   Вычислим числитель и знаменатель по отдельности:
   Числитель: \[ \frac{111}{10} \times 0{,}7 + \frac{101}{10} \times 1{,}3 = 7{,}77 + 13{,}13 = 20{,}9 \] Знаменатель: \[ \frac{26}{5} \times \frac{17}{20} - \frac{1}{25} \times 63 = 4{,}42 - 2{,}52 = 1{,}9 \] Дробь: \[ \frac{20{,}9}{1{,}9} = 11 \] Умножим на $2\tfrac{5}{22}$: \[ 11 \times \frac{49}{22} = \frac{49}{2} = 24{,}5 \] Итоговое выражение: \[ 20 - 24{,}5 = -4{,}5 \] Ответ: $\boxed{-4{,}5}$.
2. Теплоход проплывает расстояние от пункта \(A\) до пункта \(B\) по течению реки в \(1{,}5\) раза быстрее, чем обратно. Весь путь туда и обратно занимает 30 часов. За сколько часов плот проплывёт от \(A\) до \(B\)?
   Решение: Пусть \(v\) — скорость теплохода, \(u\) — скорость течения, \(S\) — расстояние.
   Время по течению: \( \frac{S}{v + u} \), против: \( \frac{S}{v - u} \).
   По условию: \(\frac{S}{v - u} = 1{,}5 \times \frac{S}{v + u}\).
   Отсюда \(v = 5u\). Время по течению: \(12\) ч, против: \(18\) ч. Расстояние \(S = 72u\).
   Время плота: \(\frac{S}{u} = \frac{72u}{u} = 72\) часа.
   Ответ: $\boxed{72}$.
3. Решите уравнение: \[ x + \tfrac{1}{8}\left(x - \tfrac{4}{5}\left(x + \tfrac{7}{9}\right)\right) = \frac{2x - 1}{6}. \]
   Решение: Раскроем скобки: \[ x + \frac{1}{8}\left(\frac{x}{5} - \frac{28}{45}\right) = \frac{2x -1}{6} \] Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{41x}{40} - \frac{7}{90} = \frac{2x -1}{6} \] Умножаем на 360: \[ 369x - 28 = 120x - 60 \implies 249x = -32 \implies x = -\frac{32}{249} \] Ответ: $\boxed{-\dfrac{32}{249}}$.
4. Первое число — 60, второе — 75, третье — 54 (40% суммы первых двух). Среднее арифметическое:
   Решение: \[ \text{Сумма} = 60 + 75 + 54 = 189 \implies \text{Среднее} = \frac{189}{3} = 63 \] Ответ: $\boxed{63}$.
5. Площадь треугольника \(ABC\):
   Решение: Используем формулу Гаусса: \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| 2 \cdot 6 + 1 \cdot 3 + 6 \cdot 2 - (2 \cdot 1 + 6 \cdot 6 + 3 \cdot 2) \right| = \frac{17}{2} = 8{,}5 \] Ответ: $\boxed{8{,}5}$.
6. Можно ли получить 100 частей из 11 листов?
   Решение: Каждое разрезание изменяет количество частей на четное число. Начальное количество — 11 (нечётное). 11 + 2k ≠ 100 (разница 89 — нечётная). Невозможно.
   Ответ: $\boxed{\text{Нельзя}}$.
7. Изначально у первого пирата:
   Решение: Обратный ход:
   • После 3-го проигрыша: первый (17), второй (39).
   • Перед 3-м: первый 34, второй 22.
   • Перед 2-м: второй 44, первый 12.
   • Перед 1-м: первый 24, второй 32.
   Ответ: $\boxed{24}$.