Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2017 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2017 год

Вариант 1

1. Вычислите: \[ 10 - \frac{6\tfrac{1}{5} \times 1{,}9 + 86 \times \frac{3}{25}}{7{,}6 \times \frac{9}{20} - 43 \times \tfrac{1}{25}} * 1 \tfrac{7}{26}. \]
2. Теплоход проплывает расстояние от пункта \(A\) до пункта \(B\) по течению реки в \(1{,}4\) раза быстрее, чем от пункта \(B\) до пункта \(A\) (против течения). На весь путь туда и обратно он тратит 24 часа. За сколько часов расстояние от \(A\) до \(B\) проплывёт плот?
3. Решите уравнение: \[ x + \tfrac{1}{9}\bigl(x - \tfrac{3}{5}(x + \tfrac{7}{8})\bigr) = \frac{x - 4}{6}. \]
4. Первое число равно $82{,}5$, второе — в \(1{,}5\) раза меньше первого, а третье составляет \(40\%\) разности первого и второго. Найти среднее арифметическое трёх этих чисел.
5. Найдите площадь треугольника \(ABC\) с координатами \(A(3;8)\), \(B(1;4)\) и \(C(5;2)\).
6. Имеется 9 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 5 или 9 частей, некоторые из образовавшихся снова разрезали на 5 или 9 частей. Можно ли после нескольких таких операций получить 120 частей? Ответ объясните.
7. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет (отдал второму), потом второй проиграл половину своих, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось 13 монет, а у второго — 29. Сколько монет было у первого пирата до начала игры?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \bigl(2\sqrt{20}-3\sqrt{45}\bigr)\Bigl(\sqrt{3\frac{1}{5}}-1\Bigr)+5\sqrt{14-6\sqrt{5}}. \]
   Решение: \[ 2\sqrt{20} = 2\cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}, \quad 3\sqrt{45} = 3\cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}, \] \[ \sqrt{3\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{16}{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}, \] Следовательно, \[ (4\sqrt{5} - 9\sqrt{5})\left(\frac{4}{\sqrt{5}} - 1\right) = (-5\sqrt{5})\left(\frac{4\sqrt{5}}{5} - 1\right) = -20 + 5\sqrt{5}. \] Упростим второе слагаемое: \[ 14 -6\sqrt{5} = (3 - \sqrt{5})^2 \Rightarrow \sqrt{14-6\sqrt{5}} = 3 - \sqrt{5}, \] \[ 5\sqrt{14-6\sqrt{5}} = 5(3 - \sqrt{5}) = 15 -5\sqrt{5}. \] Складываем результаты: \[ (-20 + 5\sqrt{5}) + (15 -5\sqrt{5}) = -5. \] Ответ:$ \boxed{-5}.$
2. Решите уравнение: \[ 3\sqrt{x(x-4)} + 4 + 2x = 8. \]
   Решение: \[ 3\sqrt{x(x-4)} = 4 - 2x. \]
   [1mm] ОДЗ: \(x(x-4) \geq 0\) и \(4 - 2x \geq 0\), откуда \(x \leq 0\). Возводим обе части в квадрат: \[ 9x(x-4) = (4 -2x)^2 \Rightarrow 9x^2 -36x = 16 -16x +4x^2, \] \[ 5x^2 -20x -16 = 0 \Rightarrow x = \frac{20 \pm \sqrt{720}}{10} = 2 \pm \frac{6\sqrt{5}}{5}. \] Подходящий корень: \[ x = \frac{10 -6\sqrt{5}}{5}. \] Ответ: $\boxed{\frac{10 -6\sqrt{5}}{5}}$
3. Первая труба пропускает на 5 литров в минуту меньше, чем вторая. Резервуар объемом 150 литров первая труба заполняет на 1 минуту дольше. Найти производительность первой трубы.
   Решение: Пусть производительность первой трубы \(x\) л/мин, тогда вторая пропускает \(x +5\) л/мин. Время заполнения первой трубой: \[ \frac{150}{x} - \frac{150}{x+5} = 1 \Rightarrow 150 \cdot 5 = x(x+5) \Rightarrow x^2 +5x -750 = 0. \] Корни: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{3025}}{2} \Rightarrow x =25. \] Ответ: $\boxed{25}.$
4. Известно, что: \[ -4 < 3x - 1 < x +5\sqrt{3} < 7 -2y <4 + y. \] Найти промежуток значений \(2y -x\).
   Решение: Из условий выводим \(x > -1\), \(x 1\), и \(y < (7 -x -5\sqrt{3})/2\).
   Последнее неравенство противоречит \(y >1\) при допустимых \(x\), следовательно, решений нет.
   Ответ: Нет решений.
5. Найти отношение площади треугольника AKL к площади параллелограмма ABCD.
   Решение: Представим параллелограмм координатами \(A(0,0)\), \(B(a,0)\), \(C(a,b)\), \(D(0,b)\). Точки \(K(a, \frac{2b}{5})\), \(L(\frac{a}{5}, b)\). Площадь треугольника AKL: \[ S_{\triangle AKL} = \frac{1}{2} \left| a \cdot b - \frac{2ab}{25} \right | = \frac{23ab}{50}. \] Площадь параллелограмма \(S = ab\), отношение: \(\frac{23ab}{50ab} = \frac{23}{50}\).
   Ответ: $\boxed{\frac{23}{50}}.$
6. Кто выигрывает при описанных условиях? Ответ: Второй игрок может обеспечить победу.
   Ответ:$ \boxed{\text{Второй игрок}}.$
7. Можно ли получить число 1 из \(\sqrt{3}\) и \(\sqrt{5}\)?
   Ответ: Нельзя получить 1 с использованием суммы, разности или произведения.
   Ответ: $\boxed{\text{Нет}}.$