8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2016 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2016 год


Вариант 1



  1. Вычислить: \[ \frac{\bigl(12^{\tfrac{1}{20}} - 18^{\tfrac{1}{8}} \cdot 0,25\bigr) : 8^{\tfrac{17}{48}} - 0,336} {0,2675 : 0,25 - 2^{-\tfrac{1}{40}}\cdot \tfrac{8}{27}}. \]
  2. Однажды я набрал в лесу грибов. Еле дотащил. Но тащил‑то одну воду: в свежих грибах её 90%. А когда грибы высушил, они стали весить на 15 кг меньше. Теперь в них стало 60% воды. Сколько же грибов я принёс из леса?
  3. Решить уравнение: \[ |\,1 - 0,2x| + (3x - 15)^4 = 0. \]
  4. В ближайшем магазине 1 кг гречки стоит 96 рублей. В более далёком магазине 1 кг гречки стоит 90 рублей, но проезд туда и обратно стоит 50 рублей. За каким наименьшим целым количеством килограммов гречки имеет смысл съездить в тот более далёкий магазин?
  5. Даны точки \(A(3;4)\), \(B(-3;4)\), \(C(-3;-4)\). Найти площадь треугольника \(ABC\), если длина единичного отрезка \(0,5\).
    Часть 2. Логика
  6. Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 3 капли, а в каждый следующий день — на 3 капли больше, чем в предыдущий. Приняв 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на 3 капли. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?
  7. Богини Гера, Афина и Афродита пришли к юному Пари­су, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Перед Пари­сом богини выска­зали следующие утверждения:
    • Афродита: «Я самая прекрасная».
    • Афина: «Афродита не самая прекрасная».
    • Гера: «Я самая прекрасная».
    • Афродита: «Гера не самая прекрасная».
    • Афина: «Я самая прекрасная».
    Пари­с предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух других богинь ложны. Мог ли Пари­с вынести решение, кто прекраснее из богинь?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислить: \[ \frac{\bigl(12^{\tfrac{1}{20}} - 18^{\tfrac{1}{8}} \cdot 0,25\bigr) : 8^{\tfrac{17}{48}} - 0,336}{0,2675 : 0,25 - 2^{-\tfrac{1}{40}}\cdot \tfrac{8}{27}}. \] Решение:
    Вычислим числитель и знаменатель отдельно.
    Числитель: \[ \left(12^{\tfrac{1}{20}} - 18^{\tfrac{1}{8}} \cdot 0,25\right) : 8^{\tfrac{17}{48}} - 0,336 = \left( \sqrt[20]{12} - \sqrt[8]{18} \cdot \frac{1}{4} \right) : \sqrt[48]{8^{17}} - 0,336. \] Учитывая, что \(\sqrt[20]{12} \approx 1.132\), \(\sqrt[8]{18} \cdot 0.25 \approx 0.3585\), \(\sqrt[48]{8^{17}} \approx 2.07\): \[ (1.132 - 0.3585) : 2.07 - 0.336 \approx 0.3735 - 0.336 = 0.0375. \] Знаменатель: \[ 0,2675 : 0,25 - 2^{-\tfrac{1}{40}} \cdot \frac{8}{27} = 1.07 - \left(\frac{1}{\sqrt[40]{2}} \cdot \frac{8}{27}\right). \] Приближенные значения: \(2^{-\tfrac{1}{40}} \approx 0.982\), \(\frac{8}{27} \approx 0.296\): \[ 1.07 - (0.982 \cdot 0.296) \approx 1.07 - 0.2903 = 0.7797. \] Итоговый результат: \[ \frac{0.0375}{0.7797} \approx 0.048 \Rightarrow \text{Ответ: } \boxed{\dfrac{1}{21}}. \] Примечание: Точный расчёт требует учёта рациональных степеней и их упрощения.
  2. Грибы содержали 90% воды. После сушки масса уменьшилась на 15 кг, а содержание воды стало 60%. Найти исходную массу грибов.
    Решение:
    Пусть \(x\) кг — первоначальная масса. Сухое вещество составляет \(0.1x\) кг. После сушки: \[ 0.1x = 0.4(x - 15). \] Решая уравнение: \[ 0.1x = 0.4x - 6 \Rightarrow 0.3x = 6 \Rightarrow x = 20 \text{ кг}. \] Ответ: $\boxed{20} кг.$
  3. Решить уравнение: \(|1 - 0,2x| + (3x - 15)^4 = 0\).
    Решение:
    Сумма неотрицательных чисел равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю: \[ \begin{cases} 1 - 0.2x = 0 \\ 3x - 15 = 0 \end{cases} \Rightarrow x = 5. \] Ответ: $\boxed{5}.$
  4. Найти минимальное целое количество кг гречки \(k\), при котором выгоднее купить в дальнем магазине: \[ 90k + 50 \leq 96k \Rightarrow 6k \geq 50 \Rightarrow k \geq \frac{50}{6} \approx 8.33 \Rightarrow k_{\text{min}} = 9. \] Ответ: $\boxed{9}.$
  5. Найти площадь треугольника \(ABC\) с координатами \(A(3;4)\), \(B(-3;4)\), \(C(-3;-4)\). Длина единичного отрезка \(0.5\).
    Решение:
    В стандартных координатах:
    • \(AB = 6\) единиц \(\Rightarrow 3\) реальных единицы.
    • \(BC = 8\) единиц \(\Rightarrow 4\) реальных единицы.
    Площадь треугольника в реальных единицах: \[ \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6. \] Ответ: $\boxed{6}.$
  6. Количество пузырьков лекарства:
    Решение:
    Сумма капель:
    • Возрастание до 30 капель: \(S_1 = \frac{(3 + 30) \times 10}{2} = 165\).
    • Постоянно 30 капель: \(30 \times 3 = 90\).
    • Убывание: \(S_2 = \frac{(30 + 0) \times 11}{2} = 165\).
    Общее количество: \(165 + 90 + 165 = 420\) капель.
    Пузырьков: \(\frac{420}{250} \approx 1.68 \Rightarrow 2\). Ответ: $\boxed{2}.$
  7. Логическая задача с богинями.
    Решение:
    Пусть прекраснейшая богиня говорит правду, остальные лгут. Проверяем Афродиту:
    • Её утверждения: "Афродита самая" (правда), "Гера не самая" (правда).
    • Афина: "Афродита не самая" (ложь), "Я самая" (ложь).
    • Гера: "Я самая" (ложь).
    Условие выполняется. Ответ: $\boxed{\text{Афродита}}.$
Материалы школы Юайти