Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2016 год вариант 1

Решения задач

1. Вычислить $\left(-5,17: 1 \frac{3}{4}+1,67 \cdot \frac{4}{7}\right) \cdot\left(-1 \frac{1}{11}\right)$
   Решение:
   Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
   $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$; $-1\frac{1}{11} = -\frac{12}{11}$
   Выполним действия по порядку:
   $-5,17 : \frac{7}{4} = -5,17 \cdot \frac{4}{7} = -\frac{20,68}{7} = -2,954$
   $1,67 \cdot \frac{4}{7} = \frac{6,68}{7} ≈ 0,954$
   Сумма в первых скобках: $-2,954 + 0,954 = -2$
   Умножение на вторую скобку: $-2 \cdot (-\frac{12}{11}) = \frac{24}{11}$
   Ответ: $\boxed{24/11}$.
   
   
2. Туристов можно разместить по автобусам либо по 35 человек, либо по 42 человека. В обоих случаях свободных мест не останется. Сколько всего туристов, если их больше 400 , но меньше 500?
   Решение:
   Найдем НОК(35, 42):
   $35 = 5 \cdot 7$; $42 = 6 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
   НОК = $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$
   Кратные 210 в диапазоне 400-500: 210*2=420; 210*3=630 (не подходит)
   Ответ: $\boxed{420}$.
   
   
3. Найти отрицательный корень уравнения $\frac{x}{0,7x^{2}: \frac{1}{3}+5} = \frac{-3}{6,3|x|+2}$
   Решение:
   Упростим уравнение:
   Знаменатель левой части: $0,7x^{2} \cdot 3 + 5 = 2,1x^{2} + 5$
   Уравнение принимает вид:
   $\frac{x}{2,1x^{2} + 5} = \frac{-3}{6,3|x| + 2}$
   Перемножим крест-накрест:
   $x(6,3|x| + 2) = -3(2,1x^{2} + 5)$
   Рассмотрим случай $x < 0$ (по условию ищем отрицательный корень):
   $x(-6,3x + 2) = -3(2,1x^{2} + 5)$
   $-6,3x^{2} + 2x = -6,3x^{2} - 15$
   $2x = -15 \Rightarrow x = -7,5$
   Ответ: $\boxed{-7,5}$.
   
   
4. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий $45\%$ меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал $40\%$ меди?
   Решение:
   Масса меди в исходном сплаве: $12 \cdot 0,45 = 5,4$ кг
   Пусть добавили $x$ кг олова. Новая масса сплава: $12 + x$ кг
   Уравнение концентрации меди: $\frac{5,4}{12 + x} = 0,4$
   $5,4 = 4,8 + 0,4x \Rightarrow 0,4x = 0,6 \Rightarrow x = 1,5$ кг
   Ответ: $\boxed{1,5}$.
   
   
5. На координатной плоскости построить квадрат $\mathrm{ABCD}$, если $\mathrm{A}(2 ; 0), \mathrm{B}(0 ; 1)$, а произведение координат точки D отрицательно.
   Решение:
   Вектор $\overrightarrow{AB} = (-2, 1)$. Повернем его на 90° для нахождения точки D:
   Вектор перпендикулярный: $(1, 2)$ или $(-1, -2)$. Учитывая отрицательное произведение координат D:
   $D = A + (-1, -2) = (2 - 1, 0 - 2) = (1, -2)$
   Ответ: $\boxed{(1; -2)}$.
   
   
6. Жили четыре друга. Звали их Альберт, Карл, Дитрих и Фридрих. Фамилии друзей те же, что и имена, только так, что ни у кого из них имя и фамилия не были одинаковыми, кроме того, фамилия Дитриха не Альберт. Определите фамилию и имя каждого мальчика.
   Решение:
   Составим таблицу возможных сочетаний:
   
   Из условия: "имя мальчика, у которого фамилия Фридрих, есть фамилия того мальчика, имя которого фамилия Карла"
   Пусть фамилия Карла — Дитрих. Тогда имя мальчика с фамилией Фридрих — Дитрих. Получаем:
   Альберт — Фридрих
   Карл — Дитрих
   Дитрих — Карл
   Фридрих — Альберт
   Ответ: $\boxed{АКДФ-ФДКА}$.
   
   
7. В древней рукописи приведено описание города, расположенного на 8 островах. Острова соединены между собой и с материком мостами. На материк выходят 5 мостов; на 4 островах берут начало по 4 моста, на 3 островах берут начало по 3 моста и на один остров можно пройти только по одному мосту. Возможно ли такое расположение мостов?
   Решение:
   Сумма степеней вершин должна быть четной (теорема Эйлера):
   Материк: 5 мостов
   4 острова по 4: 4*4=16
   3 острова по 3: 3*3=9
   1 остров: 1
   Общая сумма: 5+16+9+1=31 (нечетное)
   Ответ: $\boxed{нет}$.