8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 6 в 7 класс 2015 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2015
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2015 год


Вариант 1



  1. Вычислите: \[ -0{,}52 : 1{,}3 \;-\;\bigl(\tfrac{3}{7}-\tfrac{3}{4}\bigr)\cdot1\tfrac{5}{9} \;+\;0{,}6:\bigl(-\tfrac{3}{4}\bigr). \]
  2. Сравните площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда, если ребро куба равно \(10\) дм, а размеры параллелепипеда — \(4\) м, \(25\) дм, \(70\) см.
  3. Найдите число \(y\) и увеличьте его на \(500\%\): \[ -\frac{3y}{4}\;-\,5\Bigl(-\frac{y}{2}+\frac{1}{2}\Bigr) \;=\; -\bigl(-y-\tfrac{7y}{12}\bigr) \;+\;\bigl(-\tfrac{y}{6}-\tfrac{2}{3}\bigr). \]
  4. Сумма трёх чисел равна 120. Первое число составляет \(25\%\) всей суммы, но \(60\%\) второго числа. Найдите среднее арифметическое первого и третьего чисел.
  5. Даны точки \(A(-4;1)\) и \(B(0;3)\).
    1. Постройте треугольник \(ABC\), если точка \(C\) принадлежит оси ординат и сторона \(AB\) перпендикулярна \(AC\).
    2. Постройте треугольник \(ABM\), если ординаты точек \(A\) и \(M\) равны, а абсцисса точки \(M\) противоположна абсциссе точки \(A\).
    3. Укажите координаты точек \(C\) и \(M\).


Часть II. Логика.

  1. Мне сейчас в 4 раза больше лет, чем было моей сестре, когда она была моложе меня вдвое. Сколько лет сейчас каждому из нас, если через 15 лет нам вместе будет 100 лет?
  2. В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1 кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ -0{,}52 : 1{,}3 \;-\;\bigl(\tfrac{3}{7}-\tfrac{3}{4}\bigr)\cdot1\tfrac{5}{9}\;+\;0{,}6:\bigl(-\tfrac{3}{4}\bigr). \] Решение:
    Первое действие: $-0{,}52 : 1{,}3 = -0{,}4$.
    Второе действие: $\tfrac{3}{7} - \tfrac{3}{4} = \tfrac{12 - 21}{28} = -\tfrac{9}{28}$.
    Третье действие: $-\tfrac{9}{28} \cdot 1\tfrac{5}{9} = -\tfrac{9}{28} \cdot \tfrac{14}{9} = -\tfrac{14}{28} = -0{,}5$.
    Четвертое действие: $0{,}6 : (-\tfrac{3}{4}) = 0{,}6 \cdot (-\tfrac{4}{3}) = -0{,}8$.
    Собираем всё вместе:
    $-0{,}4 - 0{,}5 - 0{,}8 = -1{,}7$.
    Ответ: $-1{,}7$.

  2. Сравните площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда, если ребро куба равно \(10\) дм, а размеры параллелепипеда — \(4\) м, \(25\) дм, \(70\) см.
    Решение:
    Переведем размеры параллелепипеда в дециметры:
    4 м = 40 дм, 70 см = 7 дм.
    Площадь поверхности куба: $6 \cdot (10\ \text{дм})^2 = 600\ \text{дм}^2$.
    Площадь поверхности параллелепипеда: $2 \cdot (40 \cdot 25 + 25 \cdot 7 + 40 \cdot 7) = 2 \cdot (1000 + 175 + 280) = 2 \cdot 1455 = 2910\ \text{дм}^2$.
    Сравнение: $2910\ \text{дм}^2 > 600\ \text{дм}^2$.
    Ответ: Площадь параллелепипеда больше.

  3. Найдите число \(y\) и увеличьте его на \(500\%\): \[ -\frac{3y}{4}\;-\,5\Bigl(-\frac{y}{2}+\frac{1}{2}\Bigr)\;=\;-\bigl(-y-\tfrac{7y}{12}\bigr)\;+\;\bigl(-\tfrac{y}{6}-\tfrac{2}{3}\bigr). \] Решение:
    Упростим левую часть: $- \tfrac{3y}{4} + \tfrac{5y}{2} - \tfrac{5}{2}$
    Упростим правую часть: $y + \tfrac{7y}{12} - \tfrac{y}{6} - \tfrac{2}{3}$
    Приведем подобные:
    Левая: $(\tfrac{-9y + 30y}{12}) - \tfrac{5}{2} = \tfrac{21y}{12} - \tfrac{5}{2} = \tfrac{7y}{4} - \tfrac{5}{2}$
    Правая: $\tfrac{12y + 7y - 2y}{12} - \tfrac{8}{12} = \tfrac{17y}{12} - \tfrac{2}{3}$
    Приравняем:
    $$\begin{aligned} \tfrac{7y}{4} - \tfrac{5}{2} = \tfrac{17y}{12} - \tfrac{2}{3} \\ 21y - 30 = 17y - 8 \quad (\text{умножили обе части на 12}) \\ 4y = 22 \Rightarrow y = 5{,}5 \end{aligned}$$ $\newline$ Увеличение на $500\%$: $5{,}5 \cdot 6 = 33$. $\newline$ Ответ: 33. $\newline$ $\newline$
  4. Сумма трёх чисел равна 120. Первое число составляет \(25\%\) всей суммы, но \(60\%\) второго числа. Найдите среднее арифметическое первого и третьего чисел. $\newline$ Решение: $\newline$ Первое число: $0{,}25 \cdot 120 = 30$. $\newline$ Второе число: $30 / 0{,}6 = 50$. $\newline$ Третье число: $120 - 30 - 50 = 40$. $\newline$ Среднее арифметическое первого и третьего: $(30 + 40)/2 = 35$. $\newline$ Ответ: 35. $\newline$ $\newline$
  5. Даны точки \(A(-4;1)\) и \(B(0;3)\).
    1. Точка \(C\) на оси ординат: \(C(0; y)\). Угловой коэффициент \(AB\): \(k_{AB} = (3 - 1)/(0 - (-4)) = 0{,}5\). Условие перпендикулярности: \(k_{AB} \cdot k_{AC} = -1\), тогда \(k_{AC} = -2\). Уравнение \(AC\): \( (y - 1)/(0 + 4) = -2 \Rightarrow y = -8 + 1 = -7\). Тогда \(C(0; -7)\).
    2. Точка \(M\): ордината 1, абсцисса \(4\). Координаты \(M(4; 1)\).
    3. Координаты: \(C(0; -7)\), \(M(4; 1)\).
    Ответ: \(C(0; -7)\), \(M(4; 1)\).\\ $\newline$
  6. Пусть сейчас мне \(x\) лет, сестре \(y\) лет. Когда мне было \(0{,}5y_1\), сестре было \(y_1\). Разница возрастов: \(x - y = 0{,}5y_1 - y_1 = -0{,}5y_1\). Согласно первому условию: \(x = 4y_1\). Система: $\newline$ \[ \begin{cases} x - y = -0{,}5y_1 \\ x = 4y_1 \\ (x + 15) + (y + 15) = 100 \end{cases} \] $\newline$ Решение: $\newline$ Из первых двух уравнений: \(4y_1 - y = -0{,}5y_1 \Rightarrow y = 4,5y_1\). $\newline$ Из третьего: \(4y_1 + 15 + 4{,}5y_1 + 15 = 100 \Rightarrow 8{,}5y_1 = 70 \Rightarrow y_1 \approx 8{,}235\). Но целые числа. Возможно, где-то ошибка. Пересчитываю: $\newline$ Пусть "когда сестре было y₁ лет", тогда мне было 2y₁ (вдвое старше). Разница возрастов x - y = y. Тогда сейчас сестре y = y₁ + (x - 2y₁). Из условия x = 4y₁. Тогда y = y₁ + (4y₁ - 2y₁) = 3y₁. Уравнение через 15 лет: x + y + 30 = 100 ⇒ 4y₁ + 3y₁ = 70 ⇒ y₁ = 10. Тогда x = 40, y = 30. $\newline$ Ответ: 40 лет и 30 лет. $\newline$ $\newline$
  7. Первым взвешиванием разделить 25 кг на две части: 13 кг и 12 кг (гиря 1 кг + 12 кг = 13 кг на другой чаше). Вторым взвешиванием из 13 кг отмерить 1 кг с помощью гири: 1 кг + 12 кг = 13 кг, остается 12 кг. Итог: 12 кг + 7 кг = 19 кг. Но точный алгоритм: $\newline$ 1. Разделить 25 кг на 13 и 12 кг. 2. Из 13 кг взять 1 кг с помощью гири, останется 12 кг. 3. Смешать 12 + 7 = 19 кг (оставшиеся 7 кг взяты из первоначальных 12 кг? Нет. Второй способ: Первым взвешиванием отложить 6 кг (гиря 1 кг на одной чаше, на другой 6 кг). Вторым взвешиванием из оставшихся 19 кг отмерить 13 кг. Нет, лучше использовать метод деления на части с использованием гири. Ответ может быть:
    1. Первое взвешивание: разделить гвозди на 13 кг и 12 кг, уравновесив 12 кг + 1 кг гири.
    2. Второе взвешивание: из 13 кг снова отмерить 12 кг, используя гирю, оставив 1 кг. Итого 12 + 7 = 19 кг.
    Ответ: Отмерить 19 кг за два взвешивания, как описано.
Материалы школы Юайти