Лицей КФУ из 5 в 6 класс 2024 год вариант 4

ЛИЦЕЙ КФУ

2024 год

Вариант 4

1. Найдите значение выражения: \[ (3{,}8^2 : 0{,}04 + 16{,}44 : 0{,}25)\;:\;0{,}08 \;-\; 33{,}45 : 0{,}1. \]
2. Решите уравнения:
   1. \(\bigl((6{,}8 + 1{,}6x) : 3{,}1 - 0{,}81\bigr)\;\colon\;0{,}01 = 223.\)
   2. \(2\tfrac{1}{8} - \bigl(1\tfrac{1}{2}x - 6\tfrac{1}{4}\bigr)\;\colon\;\tfrac{4}{7} = 5\tfrac{3}{4}.\)
3. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 3,2 дм, ширина составляет \(\tfrac{5}{16}\) длины, а высота — 25% ширины. Вычислите объём параллелепипеда (в см³) и площадь его поверхности (в см²).
4. Два человека отправляются из одного места к опушке леса, находящейся в 5 км от старта. Первый идёт со скоростью 2,5 км/ч, второй — 3,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй возвращается обратно той же скоростью. На каком расстоянии от опушки они встретятся?
5. Известно, что маляр Коля, будучи в плохом настроении, работает вдвое медленнее, чем в хорошем. В первую неделю он покрасил на 250 м забора больше, чем во вторую, потому что во вторую неделю грустил на 2 дня дольше, чем в первую. Сколько метров забора в день красит грустный Коля?
6. Пять лицеистов собрали макулатуру. Каждый подсчитал, сколько килограммов собрали остальные вместе (без него): у первого — 28 кг, у второго — 26 кг, у третьего — 45 кг, у четвёртого — 31 кг, у пятого — 30 кг. Сколько всего макулатуры собрали пятеро лицеистов?
7. В классе 26 учеников, некоторые всегда лгут, остальные всегда говорят правду. Всем задали три вопроса: «Получил ли ты 3?», «Получил ли ты 4?», «Получил ли ты 5?». На первый ответили утвердительно 10 человек, на второй — 14, на третий — 6. Сколько лжецов в классе?

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ (3{,}8^2 : 0{,}04 + 16{,}44 : 0{,}25)\;:\;0{,}08 \;-\; 33{,}45 : 0{,}1. \] Решение: \[ (3{,}8^2 : 0{,}04 + 16{,}44 : 0{,}25) : 0{,}08 - 33{,}45 : 0{,}1 = (14{,}44 : 0{,}04 + 65{,}76) : 0{,}08 - 334{,}5 = (361 + 65{,}76) : 0{,}08 - 334{,}5 = 426{,}76 : 0{,}08 - 334{,}5 = 5334{,}5 - 334{,}5 = 5000. \] Ответ: 5000.
2. Решите уравнения:
   1. \(\bigl((6{,}8 + 1{,}6x) : 3{,}1 - 0{,}81\bigr)\;\colon\;0{,}01 = 223.\)
      Решение: \[ \frac{(6{,}8 + 1{,}6x) : 3{,}1 - 0{,}81}{0{,}01} = 223 \Rightarrow (6{,}8 + 1{,}6x) : 3{,}1 - 0{,}81 = 2{,}23, \] \[ (6{,}8 + 1{,}6x) : 3{,}1 = 3{,}04 \Rightarrow 6{,}8 + 1{,}6x = 9{,}424 \Rightarrow 1{,}6x = 2{,}624 \Rightarrow x = 1{,}64. \] Ответ: 1,64.
   2. \(2\tfrac{1}{8} - \bigl(1\tfrac{1}{2}x - 6\tfrac{1}{4}\bigr)\;\colon\;\tfrac{4}{7} = 5\tfrac{3}{4}.\)
      Решение: \[ \frac{17}{8} - \frac{(3/2 x - 25/4)}{4/7} = \frac{23}{4} \Rightarrow \frac{17}{8} - \frac{(3/2 x - 25/4) \cdot 7}{4} = \frac{23}{4}, \] \[ \frac{17}{8} - \frac{21/8 x - 175/16} = \frac{23}{4} \Rightarrow \frac{34 - 42x + 175}{16} = \frac{92}{16}, \] \[ 209 - 42x = 92 \Rightarrow -42x = -117 \Rightarrow x = \frac{39}{14} = 2\frac{11}{14}. \] Ответ: \(2\frac{11}{14}\).
3. Длина параллелепипеда 3,2 дм = 32 см. Ширина: \(\frac{5}{16} \cdot 32 = 10\) см. Высота: \(25% \cdot 10 = 2{,}5\) см. Объём: \[ 32 \cdot 10 \cdot 2{,}5 = 800 \text{ см}^3. \] Площадь поверхности: \[ 2 \cdot (32 \cdot 10 + 32 \cdot 2{,}5 + 10 \cdot 2{,}5) = 2 \cdot 425 = 850 \text{ см}^2. \] Ответ: 800 см³, 850 см².
4. Пешеходы встретятся через время \(t\): \[ 2{,}5t = 5 - 3{,}5(t - \frac{5}{3{,}5}) \Rightarrow 2{,}5t = 10 - 3{,}5t \Rightarrow t = \frac{10}{6} \approx 1{,}667 \text{ часа}. \] Первый прошёл: \(2{,}5 \cdot \frac{10}{6} = \frac{25}{6}\) км. Расстояние от опушки: \[ 5 - \frac{25}{6} = \frac{5}{6} \approx 0{,}833 \text{ км}. \] Ответ: \(\frac{5}{6}\) км.
5. Пусть производительность грустного Колы \(x\) м/день. Тогда в хорошем настроении \(2x\) м/день. Первая неделя: \[ (7 - a) \cdot 2x + a \cdot x = \text{(метры первой недели)}. \] Вторая неделя: \[ (7 - (a + 2)) \cdot 2x + (a + 2) \cdot x = \text{(метры второй недели)}. \] Разница 250 м: \[ x = 250 \Rightarrow x = 125 \text{ м/день}. \] Ответ: 125 м.
6. Сумма пяти учеников \(S\): \[ \begin{cases} 5S - S = 160 \Rightarrow 4S = 160 \Rightarrow S = 40 \text{ кг}. \end{cases} \] Ответ: 40 кг.
7. Всего ответов «Да»: \(10 + 14 + 6 = 30\). Пусть правдивых \(T\), лжецов \(L\): \[ T + 2L = 30 \quad \text{и} \quad T + L = 26 \Rightarrow L = 4. \] Ответ: 4 лжеца.