Лицей КФУ из 5 в 6 класс 2024 год вариант 3

ЛИЦЕЙ КФУ

2024 год

Вариант 3

1. Найдите значение выражения: \[ (7,7^2 : 0,08 + 16,44 : 0,25)\;:\;0,05 \;-\; 13,77 : 0,1. \]
2. Решите уравнения:
   1. \(\bigl((7,5 + 0,1x) : 2,6 - 0,38\bigr)\times 100 = 319.\)
   2. \(9\tfrac{1}{8} - \bigl(1\tfrac{1}{2}x - 4\tfrac{1}{4}\bigr)\;\colon\;\tfrac{4}{7} = 4\tfrac{3}{4}.\)
3. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 2,1 дм, ширина составляет \(\tfrac{4}{7}\) длины, а высота — 25% ширины. Вычислите объём параллелепипеда (в см³) и площадь его поверхности (в см²).
4. Два человека отправляются из одного места к опушке леса, находящейся в 4 км от старта. Первый идёт со скоростью 3,5 км/ч, второй — 4,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй возвращается обратно той же скоростью. На каком расстоянии от опушки они встретятся?
5. Известно, что маляр Женя, будучи в плохом настроении, работает вдвое медленнее, чем в хорошем. В первую неделю он покрасил на 200 м забора больше, чем во вторую, потому что во вторую неделю грустил на 2 дня дольше, чем в первую. Сколько метров забора в день красит грустный Женя?
6. Пять лицеистов собрали отработанные батарейки для утилизации. Каждый подсчитал, сколько батареек собрали остальные вместе (без него): у первого — 29, у второго — 32, у третьего — 47, у четвёртого — 34, у пятого — 30. Сколько всего батареек собрали пятеро лицеистов?
7. В классе 30 учеников, некоторые всегда лгут, остальные всегда говорят правду. Всем задали три вопроса: «Получил ли ты 3?», «Получил ли ты 4?», «Получил ли ты 5?». На первый ответили утвердительно 12 человек, на второй — 14, на третий — 8. Сколько лжецов в классе?

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ (7,7^2 : 0,08 + 16,44 : 0,25)\;:\;0,05 \;-\; 13,77 : 0,1. \]
   Решение:
   Сначала выполняем возведение в квадрат и деление: \[ 7,7^2 = 59,29 \\ \frac{59,29}{0,08} = 741,125 \\ \frac{16,44}{0,25} = 65,76 \\ 741,125 + 65,76 = 806,885 \\ \frac{806,885}{0,05} = 16137,7 \] Затем вычитаем вторую часть: \[ \frac{13,77}{0,1} = 137,7 \\ 16137,7 - 137,7 = 16000 \]
   Ответ: 16000.
2. Решите уравнения:
   1. \(\bigl((7,5 + 0,1x) : 2,6 - 0,38\bigr)\times 100 = 319.\)
      Решение: \[ \Big(\frac{7,5 + 0,1x}{2,6} - 0,38\Big) × 100 = 319 \\ \frac{7,5 + 0,1x}{2,6} - 0,38 = 3,19 \\ \frac{7,5 + 0,1x}{2,6} = 3,57 \\ 7,5 + 0,1x = 9,282 \\ 0,1x = 1,782 \\ x = 17,82 \] Ответ: 17,82.
   2. \(9\tfrac{1}{8} - \bigl(1\tfrac{1}{2}x - 4\tfrac{1}{4}\bigr)\;\colon\;\tfrac{4}{7} = 4\tfrac{3}{4}.\)
      Решение: \[ \frac{73}{8} - \frac{\frac{3}{2}x - \frac{17}{4}}{\frac{4}{7}} = \frac{19}{4} \\ \frac{\frac{3}{2}x - \frac{17}{4}}{\frac{4}{7}} = \frac{73}{8} - \frac{38}{8} = \frac{35}{8} \\ \frac{3}{2}x - \frac{17}{4} = \frac{35}{8} ⋅ \frac{4}{7} = \frac{5}{2} \\ \frac{3}{2}x = \frac{5}{2} + \frac{17}{4} = \frac{27}{4} \\ x = \frac{27}{4} ⋅ \frac{2}{3} = \frac{9}{2} = 4,5 \] Ответ: 4,5.
3. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 2,1 дм, ширина составляет \(\tfrac{4}{7}\) длины, а высота — 25% ширины. Вычислите объём параллелепипеда (в см³) и площадь его поверхности (в см²).
   Решение: $Длина = 2,1 \, дм = 21 \, см$ $\newline$ $Ширина = \frac{4}{7} \times 21 = 12 \, см$ $\newline$ $ Высота = 0,25 \times 12 = 3 \, см$ $\newline$ $Объём = 21 × 12 × 3 = 756 \, см³$ $\newline$ $Площадь \quad поверхности = 2 \times (21 \cdot 12 + 21 \cdot 3 + 12 \cdot 3) = 702 \, см² $ Ответ: объём 756 см³, площадь поверхности 702 см².
4. Два человека отправляются из одного места к опушке леса, находящейся в 4 км от старта. Первый идёт со скоростью 3,5 км/ч, второй — 4,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй возвращается обратно той же скоростью. На каком расстоянии от опушки они встретятся?
   Решение:
   Время до поворота второго: \(t_1 = \frac{4}{4,5} = \frac{8}{9} \, ч\)
   Путь первого за это время: \(3,5 \times \frac{8}{9} = \frac{28}{9} \, км\)
   Расстояние между ними к моменту поворота: \(4 - \frac{28}{9} = \frac{8}{9} \, км\)
   Время до встречи после поворота: \(t_2 = \frac{\frac{8}{9}}{3,5 + 4,5} = \frac{1}{9} \, ч\)
   Расстояние от опушки: \(4,5 \times \frac{1}{9} = 0,5 \, км\)
   Ответ: 0,5 км.
5. Известно, что маляр Женя, будучи в плохом настроении, работает вдвое медленнее, чем в хорошем. В первую неделю он покрасил на 200 м забора больше, чем во вторую, потому что во вторую неделю грустил на 2 дня дольше, чем в первую. Сколько метров забора в день красит грустный Женя?
   Решение:
   Пусть ежедневная производительность в грустном состоянии — \(v\), в хорошем — \(2v\).
   Разница между неделями: \(200 \, м = 2 \times v \)
   По условию: \(v = 100 \, м/день\)
   Ответ: 100.
6. Пять лицеистов собрали отработанные батарейки для утилизации. Каждый подсчитал, сколько батареек собрали остальные: 29, 32, 47, 34, 30. Сколько всего батареек собрали пятеро?
   Решение:
   Сумма всех ответов: \(29 + 32 + 47 + 34 + 30 = 172\) (каждая батарейка учтена 4 раза).
   Общее количество: \(T = \frac{172}{4} = 43\)
   Ответ: 43.
7. В классе 30 учеников. Всем задали три вопроса. На первый ответили 12 человек, на второй — 14, на третий — 8. Сколько лжецов в классе?
   Решение:
   Лжецы дают по 2 ложных «да». Общее количество «да»: \(12 + 14 + 8 = 34\).
   Уравнение: \(T + 2L = 34\) (где \(T\) — правдивые, \(L\) — лжецы).
   Поскольку \(T + L = 30\), решим систему: \[ T = 30 - L \\ 30 - L + 2L = 34 \implies L = 4 \] Ответ: 4.