Лицей КФУ из 5 в 6 класс 2024 год вариант 2

ЛИЦЕЙ КФУ

2024 год

Вариант 2

1. Найдите значение выражения: \[ (3{,}9^2 : 0{,}009 + 11{,}34 : 0{,}25)\;:\;0{,}2 \;-\; 67{,}68 : 0{,}1. \]
2. Решите уравнения:
   1. \(\bigl((4{,}5 + 0{,}2x) : 1{,}6 - 0{,}71\bigr)\;\colon\;0{,}01 = 329.\)
   2. \(4\tfrac{1}{8} - \bigl(1\tfrac{1}{2}x - 2\tfrac{1}{4}\bigr)\;\colon\;\tfrac{4}{7} = 2\tfrac{3}{4}.\)
3. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 2,8 дм, ширина составляет \(\tfrac{9}{14}\) длины, а высота — 25% ширины. Вычислите объём параллелепипеда (в см³) и площадь его поверхности (в см²).
4. Два человека отправляются из одного места к опушке леса, находящейся в 5 км от старта. Первый идёт со скоростью 4,5 км/ч, второй — 5,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй возвращается обратно той же скоростью. На каком расстоянии от опушки они встретятся?
5. Известно, что маляр Юрий, будучи в плохом настроении, работает вдвое медленнее, чем в хорошем. В первую неделю он покрасил на 450 м забора больше, чем во вторую, потому что во вторую неделю грустил на 2 дня дольше, чем в первую. Сколько метров забора в день красит грустный Юрий?
6. Пять лицеистов собрали макулатуру. Каждый подсчитал, сколько килограммов собрали остальные вместе (без него): у первого вышло 29 кг, у второго — 25 кг, у третьего — 46 кг, у четвёртого — 32 кг, у пятого — 28 кг. Сколько всего макулатуры собрали пятеро лицеистов?
7. В классе 28 учеников, некоторые всегда лгут, остальные всегда говорят правду. Всем после объявления результатов контрольной задали 3 вопроса: «Получил ли ты 3?», «Получил ли ты 4?», «Получил ли ты 5?». На первый вопрос утвердительно ответили 10 человек, на второй — 14, на третий — 8. Сколько лжецов в классе?

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ (3{,}9^2 : 0{,}009 + 11{,}34 : 0{,}25)\;:\;0{,}2 \;-\; 67{,}68 : 0{,}1. \] Решение: \[ 3{,}9^2 = 15{,}21 \] \[ 15{,}21 : 0{,}009 = 15{,}21 : 0{,}009 = 1690 \] \[ 11{,}34 : 0{,}25 = 45{,}36 \] \[ 1690 + 45{,}36 = 1735{,}36 \] \[ 1735{,}36 : 0{,}2 = 8676{,}8 \] \[ 67{,}68 : 0{,}1 = 676{,}8 \] \[ 8676{,}8 - 676{,}8 = 8000 \] Ответ: 8000.
   
   
2. Решите уравнения:
   1. \(\bigl((4{,}5 + 0{,}2x) : 1{,}6 - 0{,}71\bigr)\;\colon\;0{,}01 = 329.\)
      Решение: \[ ((4{,}5 + 0{,}2x) : 1{,}6 - 0{,}71) = 329 \cdot 0{,}01 = 3{,}29 \] \[ (4{,}5 + 0{,}2x) : 1{,}6 = 3{,}29 + 0{,}71 = 4 \] \[ 4{,}5 + 0{,}2x = 4 \cdot 1{,}6 = 6{,}4 \] \[ 0{,}2x = 6{,}4 - 4{,}5 = 1{,}9 \] \[ x = 1{,}9 : 0{,}2 = 9{,}5 \] Ответ: $9{,}5.$
      
      
   2. \(4\tfrac{1}{8} - \bigl(1\tfrac{1}{2}x - 2\tfrac{1}{4}\bigr)\;\colon\;\tfrac{4}{7} = 2\tfrac{3}{4}.\)
      Решение: \[ 4\tfrac{1}{8} = \tfrac{33}{8}, \quad 1\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}, \quad 2\tfrac{1}{4} = \tfrac{9}{4}, \quad 2\tfrac{3}{4} = \tfrac{11}{4} \] \[ \tfrac{33}{8} - \tfrac{7}{4} \cdot (\tfrac{3}{2}x - \tfrac{9}{4}) = \tfrac{11}{4} \] \[ \tfrac{33}{8} - \tfrac{21}{8}x + \tfrac{63}{16} = \tfrac{11}{4} \] \[ \tfrac{129}{16} - \tfrac{21}{8}x = \tfrac{11}{4} \] \[ -\tfrac{21}{8}x = \tfrac{44}{16} - \tfrac{129}{16} = -\tfrac{85}{16} \] \[ x = \tfrac{85}{16} \cdot \tfrac{8}{21} = \tfrac{85}{42} ≈ 2\tfrac{1}{42} \] Ответ: \(\tfrac{85}{42}\).
      
      
   
   
   
3. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 2,8 дм, ширина составляет \(\tfrac{9}{14}\) длины, а высота — 25% ширины. Вычислите объём параллелепипеда (в см³) и площадь его поверхности (в см²).
   Решение: \[ \text{Длина: } 2{,}8 \text{ дм} = 28 \text{ см} \] \[ \text{Ширина: } 28 \cdot \tfrac{9}{14} = 18 \text{ см} \] \[ \text{Высота: } 18 \cdot 0{,}25 = 4{,}5 \text{ см} \] \[ \text{Объём: } 28 \cdot 18 \cdot 4{,}5 = 2268 \text{ см}^3 \] \[ \text{Площадь поверхности: } 2(28 \cdot 18 + 28 \cdot 4{,}5 + 18 \cdot 4{,}5) = 2(504 + 126 + 81) = 1422 \text{ см}^2 \] Ответ: 2268 см³, 1422 см².
   
   
4. Два человека отправляются из одного места к опушке леса, находящейся в 5 км от старта. Первый идёт со скоростью 4,5 км/ч, второй — 5,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй возвращается обратно той же скоростью. На каком расстоянии от опушки они встретятся?
   Решение: Пусть встреча произошла через t часов. Первый пройдет \(4{,}5t\) км, второй — \(5{,}5t\) км до поворота и \(5{,}5(t - \tfrac{5}{5{,}5})\) обратно.
   Общий путь второго: \(5 + (5 - 4{,}5t)\)
   Уравнение: \[ 4{,}5t + 5{,}5t = 10 \quad \Rightarrow \quad t = \tfrac{10}{10} = 1 \text{ ч} \] Расстояние от опушки: \(5 - 4{,}5 \cdot 1 = 0{,}5 \text{ км}\)
   Ответ: 0,5 км.
   
   
5. Известно, что маляр Юрий, будучи в плохом настроении, работает вдвое медленнее, чем в хорошем. В первую неделю он покрасил на 450 м забора больше, чем во вторую, потому что во вторую неделю грустил на 2 дня дольше, чем в первую. Сколько метров забора в день красит грустный Юрий?
   Решение: Пусть грустный Юрий красит \(x\) м/день. Тогда в хорошем настроении — \(2x\) м/день.
   Первая неделя: \(7 - d\) дней хорошего настроения
   Вторая неделя: \(7 + d\) дней плохого настроения + 2 дня
   Разность объёмов: \[ (7 - d) \cdot 2x - [(7 + d - 2) \cdot x] = 450 \] Упрощая: \(12x = 450\) → \(x = 37{,}5\)
   Ответ: 37,5 м.
   
   
6. Пять лицеистов собрали макулатуру. Каждый подсчитал, сколько килограммов собрали остальные вместе (без него): у первого вышло 29 кг, у второго — 25 кг, у третьего — 46 кг, у четвёртого — 32 кг, у пятого — 28 кг. Сколько всего макулатуры собрали пятеро лицеистов?
   Решение: Сумма всех сообщений: \(29 + 25 + 46 + 32 + 28 = 160\)
   Каждый килограмм учтён 4 раза (каждый ученик исключён один раз).
   Общее количество: \(\tfrac{160}{4} = 40 \text{ кг}\)
   Ответ: 40 кг.
   
   
7. В классе 28 учеников, некоторые всегда лгут, остальные всегда говорят правду. Всем после объявления результатов контрольной задали 3 вопроса: «Получил ли ты 3?», «Получил ли ты 4?», «Получил ли ты 5?». На первый вопрос утвердительно ответили 10 человек, на второй — 14, на третий — 8. Сколько лжецов в классе?
   Решение: Каждый правдивый ученик ответит «да» только на один вопрос. Лжец ответит «да» на два вопроса или ни одного. Пусть \(k\) — число лжецов. Тогда количество истинных «да» ответов: \(n_3 + n_4 + n_5 = N\), где \(N\) – число правдивых. Общие утвердительные ответы: \(10 + 14 + 8 = 32\). Если правдивых \(28 - k\), то они дали \(28 - k\) «да», остальные \(32 - (28 - k) = 4 + k\) — ложные. Эти ложные ответы распределены среди лжецов (по 2 на лжеца). Уравнение: \(4 + k = 2k\) ⇒ \(k = 4\).
   Ответ: 4 лжеца.