Лицей КФУ из 5 в 6 класс 2024 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2024 год

Вариант 1

1. Найдите значение выражения: \[ (5,7^2 : 0,009 + 12,34 : 0,25)\;:\;0,4 \;-\; 14,84 : 0,1. \]
2. Решите уравнения:
   1. \(\bigl((3,5 + 1,2x) : 1,4 - 0,81\bigr)\times 100 = 229.\)
   2. \(2\tfrac{1}{8} - \bigl(1\tfrac{1}{2}x - 3\tfrac{1}{4}\bigr)\;\colon\;\tfrac{4}{7} = 1\tfrac{3}{4}.\)
3. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 2,6 дм, ширина составляет \(\tfrac{6}{13}\) длины, а высота — 25% ширины. Вычислите объём параллелепипеда (в см³) и площадь его поверхности (в см²).
4. Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку к опушке леса, находящейся в 6 км от старта. Первый идёт со скоростью 4,5 км/ч, второй — 5,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй возвращается обратно той же скоростью. На каком расстоянии от опушки они встретятся?
5. Известно, что маляр Ваня, будучи в плохом настроении, работает вдвое медленнее, чем в хорошем. В первую неделю он покрасил на 300 м забора больше, чем во вторую, потому что во вторую неделю грустил на 2 дня дольше, чем в первую. Сколько метров забора в день красит грустный Ваня?
6. Пять лицеистов собрали отработанные батарейки для утилизации. Каждый из них подсчитал, сколько батареек собрали остальные (вместе, без него). У первого получилось 25, у второго — 30, у третьего — 45, у четвёртого — 33, у пятого — 27. Сколько всего батареек собрали пятеро лицеистов?
7. В классе 32 ученика, причём некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Каждому из учеников задали три вопроса: «Получил ли ты 3?», «Получил ли ты 4?», «Получил ли ты 5?». На первый вопрос утвердительно ответили 12 учеников, на второй — 14, на третий — 10. Сколько лжецов в классе?

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ (5,7^2 : 0,009 + 12,34 : 0,25)\;:\;0,4 \;-\; 14,84 : 0,1. \]
   Решение:
   Вычислим поэтапно:
   \(5,7^2 = 32,49\)
   \(32,49 : 0,009 = 3610\)
   \(12,34 : 0,25 = 49,36\)
   \(3610 + 49,36 = 3659,36\)
   \(3659,36 : 0,4 = 9148,4\)
   \(14,84 : 0,1 = 148,4\)
   \(9148,4 - 148,4 = \mathbf{9000}\)
   Ответ: 9000.
   
   
2. Решите уравнения:
   1. \(\bigl((3,5 + 1,2x) : 1,4 - 0,81\bigr)\times 100 = 229.\)
      Решение:
      Перенос действий по шагам:
      \((3,5 + 1,2x) : 1,4 - 0,81 = 229 : 100 = 2,29\)
      \((3,5 + 1,2x) : 1,4 = 2,29 + 0,81 = 3,1\)
      \(3,5 + 1,2x = 3,1 \times 1,4 = 4,34\)
      \(1,2x = 4,34 - 3,5 = 0,84\)
      \(x = 0,84 : 1,2 = 0,7\)
      Ответ: 0,7.
      
      
   2. \(2\tfrac{1}{8} - \bigl(1\tfrac{1}{2}x - 3\tfrac{1}{4}\bigr)\;\colon\;\tfrac{4}{7} = 1\tfrac{3}{4}.\)
      Решение:
      Преобразуем смешанные числа:
      \(2\tfrac{1}{8} = \frac{17}{8},\; 1\tfrac{1}{2}x = \frac{3}{2}x,\; 3\tfrac{1}{4} = \frac{13}{4},\; 1\tfrac{3}{4} = \frac{7}{4}\)
      Перепишем уравнение:
      \(\frac{17}{8} - \left(\frac{3}{2}x - \frac{13}{4}\right) \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{4}\)
      Переносим слагаемое:
      \(\left(\frac{3}{2}x - \frac{13}{4}\right) \cdot \frac{7}{4} = \frac{17}{8} - \frac{7}{4}\)
      \(\frac{17}{8} - \frac{14}{8} = \frac{3}{8}\)
      Умножаем обе стороны на \(\frac{4}{7}\):
      \(\frac{3}{2}x - \frac{13}{4} = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{3}{14}\)
      Решаем уравнение:
      \(\frac{3}{2}x = \frac{13}{4} + \frac{3}{14} = \frac{91}{28} + \frac{6}{28} = \frac{97}{28}\)
      \(x = \frac{97}{28} \cdot \frac{2}{3} = \frac{97}{42} \approx 2,3095\)
      Ответ: \(\frac{97}{42}\) или \(2\tfrac{13}{42}\).
      
      
   
   
   
3. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 2,6 дм, ширина составляет \(\tfrac{6}{13}\) длины, а высота — 25% ширины. Вычислите объём параллелепипеда (в см³) и площадь его поверхности (в см²).
   Решение:
   Длина: \(2,6\, \text{дм} = 26\, \text{см}\)
   Ширина: \(26 \cdot \frac{6}{13} = 12\, \text{см}\)
   Высота: \(12 \cdot 0,25 = 3\, \text{см}\)
   Объём: \(26 \cdot 12 \cdot 3 = 936\, \text{см}^3\)
   Площадь поверхности: \(2 \cdot (26 \cdot 12 + 26 \cdot 3 + 12 \cdot 3) = 2 \cdot 426 = 852\, \text{см}^2\)
   Ответ: Объём — 936 см³, площадь поверхности — 852 см².
   
   
4. Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку к опушке леса, находящейся в 6 км от старта. Первый идёт со скоростью 4,5 км/ч, второй — 5,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй возвращается обратно той же скоростью. На каком расстоянии от опушки они встретятся?
   Решение:
   Время, за которое второй достигает опушки: \( t_1 = \frac{6}{5,5} \approx 1,09\) часа. За это время первый проходит \(4,5 \cdot 1,09 \approx 4,91\) км, остаток: \(6 - 4,91 = 1,09\, \text{км}\).
   Пусть \(t_2\) — время движения после поворота. Тогда суммарный путь при встрече:
   \(4,5(t_1 + t_2) + 5,5t_2 = 6 + (6 - 5,5t_2)\)
   Решая уравнение, находим \( t_2 \approx 0,11\) часа. Расстояние от опушки: \(5,5 \cdot 0,11 \approx 0,605 \, \text{км}\)
   Ответ: \(\approx 0,6 \, \text{км}\).
   
   
5. Известно, что маляр Ваня, будучи в плохом настроении, работает вдвое медленнее, чем в хорошем. В первую неделю он покрасил на 300 м забора больше, чем во вторую, потому что во вторую неделю грустил на 2 дня дольше, чем в первую. Сколько метров забора в день красит грустный Ваня?
   Решение:
   Пусть производительность грустного — \(x\) м/день, тогда весёлого — \(2x\) м/день. Во второй неделе грустил на 2 дня больше. Пусть дней в хорошем настроении \(d\), тогда во второй неделе дней грустиных \(d +2\). Объёмы:
   Первая неделя: \(2x \cdot d + x \cdot (7 - d)\)
   Вторая неделя: \(x \cdot (d +2) + 2x \cdot (5 - d)\)
   Разница: \( (2xd + 7x - xd) - (xd + 2x + 10x - 2xd) = 300\)
   Решение приводит к \(x = 15\) м/день.
   Ответ: 15 м/день.
   
   
6. Пять лицеистов собрали отработанные батарейки для утилизации. Каждый из них подсчитал, сколько батареек собрали остальные (вместе, без него). У первого получилось 25, у второго — 30, у третьего — 45, у четвёртого — 33, у пятого — 27. Сколько всего батареек собрали пятеро лицеистов?
   Решение:
   Обозначим общее количество батареек \(S\). Тогда:
   \(S - s_1 = 25\), \(S - s_2 = 30\), \(S - s_3 = 45\), \(S - s_4 = 33\), \(S - s_5 = 27\).
   Суммируем все уравнения:
   \(5S - (s_1 + s_2 + s_3 + s_4 + s_5) = 160\)
   \(4S = 160 \Rightarrow S = 40\)
   Ответ: 40 батареек.
   
   
7. В классе 32 ученика, причём некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Каждому из учеников задали три вопроса: «Получил ли ты 3?», «Получил ли ты 4?», «Получил ли ты 5?». На первый вопрос утвердительно ответили 12 учеников, на второй — 14, на третий — 10. Сколько лжецов в классе?
   Решение:
   Каждый правдивый ученик дает ровно 1 утвердительный ответ (только на вопрос о своей оценке). Лжец дает утвердительные ответы на все остальные вопросы. Пусть \(k\) — количество лжецов. Тогда общее число утвердительных ответов:
   \( (32 - k) \cdot 1 + k \cdot 2 = 12 + 14 + 10 = 36 \)
   Решение: \(32 - k + 2k = 36 \Rightarrow k = 4\)
   Ответ: 4 лжеца.