Лицей КФУ из 5 в 6 класс 2021 год вариант 4

ЛИЦЕЙ КФУ

2021 год

Вариант 4

МАТЕМАТИКА

1. Вычислите: \[ 397{,}12 + 0{,}64 \,\cdot\bigl(4{,}516 - 0{,}0001024 \colon 0{,}0064\bigr). \]
2. Решите уравнение: \[ 3{,}213 \;\colon\;\bigl(1{,}2x - 47{,}7 + 3{,}3x\bigr)\;\cdot\;2{,}2 = 1{,}122. \]
3. Какое наибольшее двузначное натуральное число при делении на 19 даёт остаток, равный 3?
4. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) по одной дороге отправились три поезда друг за другом с интервалом в 2 ч. Скорость первого поезда равна 70 км/ч, а второго — 90 км/ч. Найдите скорость третьего поезда, если известно, что в город \(B\) все три поезда доехали одновременно.
5. Объём коробки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, равен 100 см³. Площадь большей стенки равна такому количеству см², которое составляет 50% от числа, равного объёму коробки. Площадь дна равна 40% от большей стенки. Найдите площадь полной внешней поверхности коробки.

ЛОГИКА

1. На столе стоят 5 бочонков лото с номерами 14, 29, 31, 71, 90. Запомнив их номера, Даниил и Полина убирают бочонки в непрозрачный мешок. Затем Даниил и Полина не глядя достают из мешка каждый по два бочонка (один бочонок остаётся в мешке). Изучив свои бочонки, Даниил сказал Полине: «Я знаю, что сумма номеров твоих бочонков чётная!», и был прав. С какими номерами достал бочонки Даниил? Свой ответ обоснуйте и приведите развёрнутое объяснение.
2. Сколько четырёхзначных чисел, делящихся на 3, можно составить с помощью цифр 1, 3, 4, 6, 8, если цифры в числах не должны повторяться? Чему равна сумма последних цифр этих четырёхзначных чисел? Приведите полное решение задачи.

Решения задач

1. Вычислите: \[ 397{,}12 + 0{,}64 \,\cdot\bigl(4{,}516 - 0{,}0001024 \colon 0{,}0064\bigr). \]
   Решение: Сначала выполним деление внутри скобок: \[ 0{,}0001024 : 0{,}0064 = 0{,}016 \] Теперь вычислим выражение в скобках: \[ 4{,}516 - 0{,}016 = 4{,}5 \] Умножим 0,64 на 4,5: \[ 0{,}64 \cdot 4{,}5 = 2{,}88 \] Прибавим к 397,12: \[ 397{,}12 + 2{,}88 = 400 \] Ответ: 400.
   
   
2. Решите уравнение: \[ 3{,}213 \;\colon\;\bigl(1{,}2x - 47{,}7 + 3{,}3x\bigr)\;\cdot\;2{,}2 = 1{,}122. \]
   Решение: Упростим выражение в скобках: \[ 1{,}2x + 3{,}3x - 47{,}7 = 4{,}5x - 47{,}7 \] Перепишем уравнение: \[ \frac{3{,}213}{4{,}5x - 47{,}7} \cdot 2{,}2 = 1{,}122 \] Умножим числитель: \[ 3{,}213 \cdot 2{,}2 = 7{,}0686 \] Решаем пропорцию: \[ \frac{7{,}0686}{4{,}5x - 47{,}7} = 1{,}122 \quad \Rightarrow \quad 4{,}5x - 47{,}7 = \frac{7{,}0686}{1{,}122} = 6{,}3 \] Находим x: \[ 4{,}5x = 6{,}3 + 47{,}7 \quad \Rightarrow \quad 4{,}5x = 54 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{54}{4{,}5} = 12 \] Ответ: 12.
   
   
3. Какое наибольшее двузначное натуральное число при делении на 19 даёт остаток, равный 3?
   Решение: Искомое число можно представить как: \[ N = 19k + 3 < 100 \] Наибольшее целое k: \[ 19k < 97 \quad \Rightarrow \quad k = 5 \quad \Rightarrow \quad N = 19 \cdot 5 + 3 = 98 \] Ответ: 98.
   
   
4. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) отправлены три поезда с интервалом в 2 ч. Скорости: первый — 70 км/ч, второй — 90 км/ч. Найдите скорость третьего.
   Решение: Пусть расстояние между пунктами \(S\). Время в пути для первого поезда: \[ t_1 = \frac{S}{70} \] Время в пути для второго поезда: \[ t_2 = \frac{S}{90} = t_1 - 2 \] Найдём \(S\): \[ \frac{S}{90} = \frac{S}{70} - 2 \quad \Rightarrow \quad 7S - 9S = -1260 \quad \Rightarrow \quad S = 630 \text{ км} \] Время третьего поезда: \[ t_3 = t_1 - 4 = \frac{630}{70} - 4 = 5 \text{ ч} \] Скорость третьего: \[ v_3 = \frac{630}{5} = 126 \text{ км/ч} \] Ответ: 126 км/ч.
   
   
5. Объём коробки 100 см³. Большая стенка составляет 50% от объёма (50 см²). Дно — 40% от большей стенки (20 см²). Найдите площадь полной поверхности.
   Решение: Пусть размеры коробки \(a \times b \times c\). Тогда: \[ \begin{cases} a \cdot b = 50 \\ a \cdot c = 20 \\ a \cdot b \cdot c = 100 \end{cases} \] Выразим \(c\) из второго уравнения: \[ c = \frac{20}{a} \] Подставим в третье уравнение: \[ a \cdot 50 \cdot \frac{20}{a} = 1000 \quad \Rightarrow \quad a = 10 \text{ см, } b = 5 \text{ см, } c = 2 \text{ см} \] Площадь поверхности: \[ 2(ab + ac + bc) = 2(50 + 20 + 10) = 160 \text{ см²} \] Ответ: 160 см².
   
   
6. Логика: Бочонки с номерами 14, 29, 31, 71, 90. Даниил взял два бочонка, сумма которых чётная.
   Решение: Общая сумма номеров: \[ 14 + 29 + 31 + 71 + 90 = 235 \text{ (нечётная)} \] Даниил взял бочонки с чётной суммой (14 и 90), оставив три нечётных (29, 31, 71). Сумма любых двух нечётных чисел чётная, поэтому утверждение Даниила верно.
   Ответ: 14 и 90.
   
   
7. Сколько четырёхзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 8 без повторений? Сумма последних цифр.
   Решение: Сумма всех цифр: 22. Исключаем цифру, дающую остаток 1 по модулю 3 (1 или 4).
   Комбинаций: \[ 2 \times 4! = 48 \] Сумма последних цифр: \[ 6 \times (3 + 4 + 6 + 8) + 6 \times (1 + 3 + 6 + 8) = 126 + 108 = 234 \] Ответ: 48 чисел, сумма последних цифр 234.