Лицей КФУ из 5 в 6 класс 2021 год вариант 3

ЛИЦЕЙ КФУ

2021 год

Вариант 3

1. Вычислите: \[ 496{,}88 + 0{,}48 \;\cdot\;\bigl(6{,}514 - 0{,}0000672 \colon 0{,}0048\bigr). \]
2. Решите уравнение: \[ 3{,}108 \;\colon\;\bigl(0{,}7x - 28{,}6 + 1{,}7x\bigr)\;\cdot\;2{,}6 = 1{,}092. \]
3. Какое наименьшее двузначное натуральное число при делении на 19 даёт остаток, равный 3?
4. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) по одной дороге отправились три мотоциклиста друг за другом с интервалом в 1 ч. Скорость первого мотоциклиста равна 60 км/ч, а второго — 70 км/ч. Найдите скорость третьего мотоциклиста, если известно, что он догнал первых двух мотоциклистов одновременно.
5. Объём коробки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, равен 200 см³. Площадь меньшей стенки равна такому количеству см², которое составляет 20% от числа, равного объёму коробки. Площадь дна равна 50% от меньшей стенки. Найдите площадь полной внешней поверхности коробки.

1. На столе стоят 5 бочонков лото с номерами 13, 23, 31, 42, 88. Запомнив их номера, Максим и Айгуль убирают бочонки в непрозрачный мешок. Затем Максим и Айгуль не глядя достают из мешка каждый по два бочонка (один бочонок остаётся в мешке). Изучив свои бочонки, Айгуль сказала Максиму: «Я знаю, что сумма номеров твоих бочонков чётная!», и была права. С какими номерами достала бочонки Айгуль? Свой ответ обоснуйте и приведите развёрнутое объяснение.
2. Сколько четырёхзначных чисел, делящихся на 3, можно составить с помощью цифр 1, 2, 5, 6, 9, если цифры в числах не должны повторяться? Чему равна сумма последних цифр этих четырёхзначных чисел? Приведите полное решение задачи.

Решения задач

1. Вычислите: \[ 496{,}88 + 0{,}48 \;\cdot\;\bigl(6{,}514 - 0{,}0000672 \colon 0{,}0048\bigr). \]
   Решение:
   Сначала выполним деление внутри скобок: \[ 0{,}0000672 \colon 0{,}0048 = 0{,}014 \]
   Далее вычисляем выражение в скобках: \[ 6{,}514 - 0{,}014 = 6{,}5 \]
   Произведение: \[ 0{,}48 \cdot 6{,}5 = 3{,}12 \]
   Теперь складываем: \[ 496{,}88 + 3{,}12 = 500 \]
   Ответ: 500.
   
   
2. Решите уравнение: \[ 3{,}108 \;\colon\;\bigl(0{,}7x - 28{,}6 + 1{,}7x\bigr)\;\cdot\;2{,}6 = 1{,}092 \]
   Решение:
   Упростим выражение в скобках: \[ 0{,}7x + 1{,}7x - 28{,}6 = 2{,}4x - 28{,}6 \]
   Подставим в уравнение: \[ 3{,}108 \colon (2{,}4x - 28{,}6) \cdot 2{,}6 = 1{,}092 \]
   Перенесём постоянные множители: \[ \frac{3{,}108 \cdot 2{,}6}{2{,}4x - 28{,}6} = 1{,}092 \]
   Вычислим числитель: \[ 3{,}108 \cdot 2{,}6 = 8{,}0808 \]
   Решаем пропорцию: \[ \frac{8{,}0808}{2{,}4x - 28{,}6} = 1{,}092 \quad \Rightarrow \quad 2{,}4x - 28{,}6 = \frac{8{,}0808}{1{,}092} = 7{,}4 \]
   Найдём \( x \): \[ 2{,}4x = 7{,}4 + 28{,}6 = 36 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{36}{2{,}4} = 15 \]
   Ответ: 15.
   
   
3. Какое наименьшее двузначное натуральное число при делении на 19 даёт остаток, равный 3?
   Решение:
   Искомое число имеет вид: \[ N = 19k + 3 \]
   Наименьшее двузначное значение получим при \( k = 1 \): \[ N = 19 \cdot 1 + 3 = 22 \]
   Ответ: 22.
   
   
4. Найдите скорость третьего мотоциклиста, если он догнал первых двух одновременно.
   Решение:
   Пусть третий догнал через \( t \) часов после своего старта. За это время:
   Первый мотоциклист проехал: \[ 60 \cdot (2 + t) = 120 + 60t \, \text{км} \]
   Второй мотоциклист: \[ 70 \cdot (1 + t) = 70 + 70t \, \text{км} \]
   Третий мотоциклист: \[ vt \, \text{км} \]
   Приравниваем расстояния: \[ vt = 120 + 60t \quad \text{и} \quad vt = 70 + 70t \]
   Решаем систему: \[ 120 + 60t = 70 + 70t \quad \Rightarrow \quad 50 = 10t \quad \Rightarrow \quad t = 5 \]
   Скорость третьего: \[ v = \frac{120 + 60 \cdot 5}{5} = \frac{420}{5} = 84 \, \text{км/ч} \]
   Ответ: 84 км/ч.
   
   
5. Найдите площадь полной внешней поверхности коробки.
   Решение:
   Объём: \[ abc = 200 \, \text{см}^3 \]
   Площадь меньшей стенки \( bc = 20% \cdot 200 = 40 \, \text{см}^2 \).
   Площадь дна \( ab = 50% \cdot 40 = 20 \, \text{см}^2 \).
   Решаем систему: \[ \begin{cases} bc = 40 \\ ab = 20 \\ abc = 200 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad c = \frac{200}{ab} = \frac{200}{20} = 10 \, \text{см}, \quad b = \frac{40}{c} = \frac{40}{10} = 4 \, \text{см}, \quad a = \frac{20}{b} = \frac{20}{4} = 5 \, \text{см} \]
   Площадь поверхности: \[ 2(ab + bc + ac) = 2(20 + 40 + 5 \cdot 10) = 2 \cdot 110 = 220 \, \text{см}^2 \]
   Ответ: 220 см².
   
   
6. ЛОГИКА: Номера бочонков Айгуль.
   Решение:
   Сумма номеров Максима чётна. Возможные комбинации: оба чётных или оба нечётных.
   Айгуль определила это, зная свои бочонки. Единственный набор, обеспечивающий однозначность: 42 и 88 (чётные). Тогда оставшиеся номера 13, 23, 31 (нечётные), сумма которых всегда чётна при любом выборе двух.
   Ответ: 42 и 88.
   
   
7. ЛОГИКА: Четырехзначные числа, делящиеся на 3.
   Решение:
   Подходящие наборы цифр: \[ \{1, 2, 6, 9\} \quad (\text{сумма} \, 18) \quad \text{и} \quad \{1, 5, 6, 9\} \quad (\text{сумма} \, 21) \]
   Количество чисел: \[ 2 \cdot 4! = 48 \]
   Сумма последних цифр:
   Для первого набора: \[ (1 + 2 + 6 + 9) \cdot 3! = 18 \cdot 6 = 108 \]
   Для второго набора: \[ (1 + 5 + 6 + 9) \cdot 3! = 21 \cdot 6 = 126 \]
   Общая сумма: \[ 108 + 126 = 234 \]
   Ответ: 48 чисел, сумма последних цифр — 234.