Лицей КФУ из 5 в 6 класс 2021 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2021 год

Вариант 1

МАТЕМАТИКА

1. Вычислите: \[ 297{,}45 \;+\; 0{,}34 \,\cdot\bigl(7{,}515 - 0{,}0000435 \colon 0{,}0029\bigr). \]
2. Решите уравнение: \[ 2{,}072 \;\colon\;\bigl(0{,}9x - 68{,}4 + 2{,}8x\bigr)\;\cdot\;2{,}8 \;=\; 1{,}036. \]
3. Какое наименьшее двузначное натуральное число при делении на 17 даёт остаток, равный 5?
4. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) по одной дороге отправились три мотоциклиста друг за другом с интервалом в 1 ч. Скорость первого мотоциклиста равна 60 км/ч, а второго — 70 км/ч. Найдите скорость третьего мотоциклиста, если известно, что он догнал первых двух одновременно.
5. Объём ящика, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равен \(300\ \mathrm{см}^3\). Площадь дна равна такому количеству \(\mathrm{см}^2\), сколько составляет 20% от числа, равного объёму ящика. Площадь меньшей боковой стенки равна 50% от площади дна. Найдите площадь полной внешней поверхности ящика с крышкой.

ЛОГИКА

1. На столе стоят пять бочонков лото с номерами \(11, 25, 28, 38, 91\). Запомнив их, Андрей и Арина кладут бочонки в непрозрачный мешок. Затем каждый, не глядя, достаёт из мешка по два бочонка (один остаётся в мешке). Изучив свои бочонки, Андрей говорит Арине: «Я знаю, что сумма номеров твоих бочонков чётная!» — и оказывается прав. С какими номерами бочонков достал Андрей? Свой ответ обоснуйте и приведите развёрнутое объяснение.
   
   
2. Сколько четырёхзначных чисел, делящихся на 3, можно составить с помощью цифр \(1,2,3,4,9\), если цифры в числе не повторяются? Чему равна сумма последних цифр всех таких четырёхзначных чисел? Приведите полное решение задачи.

Решения задач

1. Вычислите: \[ 297{,}45 \;+\; 0{,}34 \,\cdot\bigl(7{,}515 - 0{,}0000435 \colon 0{,}0029\bigr) \]
   Решение:
   Сначала выполним деление внутри скобок:
   $\frac{0{,}0000435}{0{,}0029} = 0{,}015$
   Затем вычитание:
   $7{,}515 - 0{,}015 = 7{,}5$
   Умножение:
   $0{,}34 \cdot 7{,}5 = 2{,}55$
   Сложение:
   $297{,}45 + 2{,}55 = 300$
   Ответ: 300.
   
   
2. Решите уравнение: \[ 2{,}072 \;\colon\;\bigl(0{,}9x - 68{,}4 + 2{,}8x\bigr)\;\cdot\;2{,}8 \;=\; 1{,}036 \]
   Решение:
   Упростим выражение в скобках:
   $0,9x + 2,8x - 68,4 = 3,7x - 68,4$
   Подставим в уравнение:
   $\frac{2{,}072}{3{,}7x - 68{,}4} \cdot 2{,}8 = 1{,}036$
   Изолируем дробь:
   $\frac{2{,}072}{3{,}7x - 68{,}4} = \frac{1{,}036}{2{,}8} = 0{,}37$
   Решим пропорцию:
   $3{,}7x - 68{,}4 = \frac{2{,}072}{0{,}37} = 5{,}6$
   Найдём \(x\):
   $3{,}7x = 74$
   $x = \frac{74}{3{,}7} = 20$
   Ответ: 20.
   
   
3. Какое наименьшее двузначное натуральное число при делении на 17 даёт остаток, равный 5?
   Решение:
   Искомое число имеет вид \(17k + 5\). Минимальное двузначное значение при \(k = 1\):
   $17 \cdot 1 + 5 = 22$
   Ответ: 22.
   
   
4. Найдите скорость третьего мотоциклиста, если он догнал первых двух одновременно.
   Решение:
   Пусть скорость третьего мотоциклиста \(v\) км/ч. В момент старта третьего:
   Первый проехал \(60 \cdot 2 = 120\) км, второй — \(70 \cdot 1 = 70\) км.
   Время до встречи с первым: \(\frac{120}{v - 60}\)
   Время до встречи со вторым: \(\frac{70}{v - 70}\)
   Уравнение:
   $\frac{120}{v - 60} = \frac{70}{v - 70}$
   Решение:
   $120(v - 70) = 70(v - 60)$
   $120v - 8400 = 70v - 4200$
   $50v = 4200$
   $v = 84$ км/ч
   Ответ: 84 км/ч.
   
   
5. Найдите площадь полной внешней поверхности ящика.
   Решение:
   Площадь дна: \(0{,}2 \cdot 300 = 60\ \mathrm{см}^2\)
   Меньшая боковая стенка: \(0{,}5 \cdot 60 = 30\ \mathrm{см}^2\)
   Размеры ящика: \(a = 10\ \mathrm{см},\ b = 6\ \mathrm{см},\ c = 5\ \mathrm{см}\)
   Полная поверхность:
   $2(ab + bc + ac) = 2(60 + 30 + 50) = 280\ \mathrm{см}^2$
   Ответ: 280 см².
   
   
6. Логическая задача с бочонками.
   Решение:
   Номера бочонков: 11, 25, 28, 38, 91. Сумма всех номеров: 193 (нечётная).
   Для чётности суммы Арины, оставшиеся три бочонка после выбора Андрея должны быть все нечётными. Андрей забрал два чётных: 28 и 38.
   Ответ: 28 и 38.
   
   
7. Сколько четырёхзначных чисел делятся на 3?
   Решение:
   Цифры: 1,2,3,4,9. Сумма цифр для делимости на 3 достигается исключением 1 или 4.
   Возможные комбинации: по 24 числа для каждого случая. Всего 48 чисел.
   Сумма последних цифр:
   Для исключённой 1: \( (2+3+4+9) \cdot 6 = 108 \)
   Для исключённой 4: \( (1+2+3+9) \cdot 6 = 90 \)
   Общая сумма: \(108 + 90 = 198\)
   Ответ: 48 чисел, сумма последних цифр 198.