Лицей КФУ из 5 в 6 класс 2019 год вариант 4

ЛИЦЕЙ КФУ

2019 год

Вариант 4

Часть 1. Математика.

1. Вычислите: \[ \bigl(0{,}804 : 0{,}12 - 2{,}6\bigr)\cdot 22{,}9 - 4{,}89. \]
2. Процентное содержание соли в растворе сначала понизилось на $10\%$, а затем повысилось на $10\%$. Как и на сколько процентов изменилось процентное содержание соли?
3. Решите уравнение: \[ 2{,}021 : \bigl(2{,}3x - 41{,}7\bigr)\cdot 2{,}3 = 1{,}081. \]
4. От речной пристани отправился плот. Через $0{,}4$ часа вслед за ним вышла лодка и ещё через $0{,}4$ часа обогнала плот на 4 км. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 2 км/ч.
5. Если пешеход из пункта $A$ в пункт $B$ будет идти со скоростью 5 км/ч, то он опоздает на 45 минут, а если будет идти со скоростью 6 км/ч, то придёт раньше на 15 минут. Найдите расстояние между пунктами $A$ и $B$.

Часть 2. Логика.

1. Если в словах $\emph{ТВОРЧЕСТВО}$ и $\emph{РЕШЕНИЕ}$ каждую букву заменить определённой цифрой (разным буквам соответствуют разные цифры), то получатся два числа. Известно, что у этих чисел произведения цифр равны. Могут ли оба числа быть нечётными?
2. 7 июня 2018 года Денис сказал: «Разность между числами прожитых мною месяцев и прожитых полных лет сегодня впервые стала равна 111». Когда он родился?

Решения задач

1. Вычислите: $\bigl(0{,}804 : 0{,}12 - 2{,}6\bigr)\cdot 22{,}9 - 4{,}89$.
   Решение: \[ \bigl(0{,}804 : 0{,}12 - 2{,}6\bigr)\cdot 22{,}9 - 4{,}89 = (6{,}7 - 2{,}6) \cdot 22{,}9 - 4{,}89 = 4{,}1 \cdot 22{,}9 - 4{,}89 = 93{,}89 - 4{,}89 = 89 \]
   Ответ: 89.
2. Процентное содержание соли в растворе сначала понизилось на $10\%$, а затем повысилось на $10\%$. Как и на сколько процентов изменилось процентное содержание соли?
   Решение: Пусть исходный процент соли равен $P$. После понижения: $0{,}9P$. После повышения: $0{,}9P \cdot 1{,}1 = 0{,}99P$.
   Изменение: $P - 0{,}99P = 0{,}01P$ (уменьшилось на $1\%$).
   Ответ: Уменьшилось на $1\%$.
3. Решите уравнение: $2{,}021 : \bigl(2{,}3x - 41{,}7\bigr)\cdot 2{,}3 = 1{,}081$.
   Решение: \[ \frac{2{,}021 \cdot 2{,}3}{2{,}3x - 41{,}7} = 1{,}081 \quad \Rightarrow \quad \frac{2{,}021}{2{,}3x - 41{,}7} = \frac{1{,}081}{2{,}3} \] \[ 2{,}3x - 41{,}7 = \frac{2{,}021 \cdot 2{,}3}{1{,}081} \approx 4{,}3 \quad \Rightarrow \quad 2{,}3x = 46 \quad \Rightarrow \quad x = 20 \]
   Ответ: 20.
4. От речной пристани отправился плот. Через $0{,}4$ часа вслед за ним вышла лодка и ещё через $0{,}4$ часа обогнала плот на 4 км. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 2 км/ч.
   Решение: Пусть собственная скорость лодки $v$ км/ч. Путь лодки: $(v + 2) \cdot 0{,}8$ км. Путь плота: $2 \cdot (0{,}4 + 0{,}8) = 2{,}4$ км.
   Уравнение: $(v + 2) \cdot 0{,}8 - 2{,}4 = 4 \quad \Rightarrow \quad 0{,}8v + 1{,}6 = 6{,}4 \quad \Rightarrow \quad v = 6$.
   Ответ: 6 км/ч.
5. Если пешеход из пункта $A$ в пункт $B$ будет идти со скоростью 5 км/ч, то он опоздает на 45 минут, а если будет идти со скоростью 6 км/ч, то придёт раньше на 15 минут. Найдите расстояние между пунктами $A$ и $B$.
   Решение: Пусть расстояние $S$ км, а назначенное время $t$ ч. \[ \begin{cases} \frac{S}{5} = t + 0{,}75 \\ \frac{S}{6} = t - 0{,}25 \end{cases} \] Вычитаем уравнения: \[ \frac{S}{5} - \frac{S}{6} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{S}{30} = 1 \quad \Rightarrow \quad S = 30 \]
   Ответ: 30 км.
6. Могут ли оба числа (из слов $\emph{ТВОРЧЕСТВО}$ и $\emph{РЕШЕНИЕ}$) быть нечётными, если их произведения цифр равны?
   Решение: Оба числа не могут быть нечётными, так как в слове $\emph{РЕШЕНИЕ}$ буква $\emph{Е}$ повторяется. Для нечётности всех цифр каждой букве должно соответствовать нечётная цифра, но повторяющиеся буквы подразумевают одинаковые цифры, что противоречит условию разным буквам — разные цифры.
   Ответ: Нет.
7. 7 июня 2018 года Денис сказал: «Разность между числами прожитых мною месяцев и прожитых полных лет сегодня впервые стала равна 111». Когда он родился?
   Решение: Пусть $y$ — полные годы, $m$ — месяцы после дня рождения. Уравнение: \[ (12y + m) - y = 111 \quad \Rightarrow \quad 11y + m = 111 \] Так как $0 \le m < 12$, единственное решение: $y = 10$, $m = 1$.
   Дата рождения: 7 мая 2008 года (7 июня 2018 минус 10 лет и 1 месяц).
   Ответ: 7 мая 2008 года.