Лицей КФУ из 5 в 6 класс 2019 год вариант 3
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ КФУ
2019 год
Вариант 3
Часть 1. Математика.
- Вычислите: \[ \bigl(0{,}624 : 0{,}3 - 0{,}918 : 0{,}51\bigr)\cdot 7\dfrac{1}{7}. \]
- Сначала цена товара повысилась на $10\%$, а затем понизилась на $10\%$. Как и на сколько процентов изменилась цена товара?
- Решите уравнение: \[ 1{,}904 : \bigl(3{,}2x - 28{,}6\bigr)\cdot 2{,}4 = 1{,}344. \]
- От пристани $A$ к пристани $B$, расстояние до которой равно $28{,}8$ км, отправился плот. Через $0{,}4$ часа навстречу ему от пристани $B$ вышел катер, собственная скорость которого равна $17{,}5$ км/ч, и встретился с плотом через $1{,}6$ часа. Найдите скорость течения реки.
- Если автомобиль из пункта $A$ в пункт $B$ будет ехать со скоростью 80 км/ч, то он опоздает на 20 минут, а если будет ехать со скоростью 90 км/ч, то приедет раньше на 10 минут. Найдите расстояние между пунктами $A$ и $B$.
Часть 2. Логика.
- Если в словах $\emph{МУДРОСТЬ}$ и $\emph{СЛОВО}$ каждую букву заменить определённой цифрой (разным буквам соответствуют разные цифры), то получатся два числа. Известно, что у этих чисел произведения цифр равны. Могут ли оба числа быть нечётными?
- 14 апреля 2019 года Дарья сказала: «Разность между числами прожитых мною месяцев и прожитых полных лет сегодня впервые стала равна 111». Когда она родилась?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите:
\[
\bigl(0{,}624 : 0{,}3 - 0{,}918 : 0{,}51\bigr)\cdot 7\dfrac{1}{7}.
\]
Решение:
\[
0{,}624 : 0{,}3 = 2{,}08; \quad
0{,}918 : 0{,}51 = 1{,}8; \quad
2{,}08 - 1{,}8 = 0{,}28; \quad
7\dfrac{1}{7} = \frac{50}{7}; \quad
0{,}28 \cdot \frac{50}{7} = \frac{14}{7} = 2.
\]
Ответ: 2.
- Сначала цена товара повысилась на $10\%$, а затем понизилась на $10\%$. Как и на сколько процентов изменилась цена товара?
Решение: Пусть начальная цена $x$. После повышения: $1{,}1x$. После понижения: $0{,}9 \cdot 1{,}1x = 0{,}99x$. Изменение: $\frac{x - 0{,}99x}{x} \cdot 100% = -1\%$.
Ответ: уменьшилась на $1\%$.
- Решите уравнение:
\[
1{,}904 : \bigl(3{,}2x - 28{,}6\bigr)\cdot 2{,}4 = 1{,}344.
\]
Решение:
\[
1{,}904 : (3{,}2x - 28{,}6) = \frac{1{,}344}{2{,}4} = 0{,}56;
\]
\[
3{,}2x - 28{,}6 = \frac{1{,}904}{0{,}56} = 3{,}4;
\]
\[
3{,}2x = 3{,}4 + 28{,}6 = 32; \quad
x = \frac{32}{3{,}2} = 10.
\]
Ответ: 10.
- От пристани $A$ к пристани $B$, расстояние до которой равно $28{,}8$ км, отправился плот. Через $0{,}4$ часа навстречу ему от пристани $B$ вышел катер, собственная скорость которого равна $17{,}5$ км/ч, и встретился с плотом через $1{,}6$ часа. Найдите скорость течения реки.
Решение: Пусть скорость течения $v$ км/ч. Скорость плота $v$ км/ч. До выхода катера плот прошел $0{,}4v$ км. Расстояние между ними стало $28{,}8 - 0{,}4v$ км. Скорость катера против течения: $17{,}5 - v$. За $1{,}6$ часа катер прошел $(17{,}5 - v) \cdot 1{,}6$ км, плот: $v \cdot 1{,}6$ км. Суммарно: \[ 1{,}6(17{,}5 - v + v) = 28{,}8 - 0{,}4v; \quad 28 = 28{,}8 - 0{,}4v; \quad 0{,}4v = 0{,}8; \quad v = 2 \text{ км/ч}. \] Ответ: 2 км/ч.
- Найдите расстояние между пунктами $A$ и $B$.
Решение: Пусть расстояние $S$ км, плановое время $t$ часов. Тогда: \[ \frac{S}{80} = t + \frac{1}{3}; \quad \frac{S}{90} = t - \frac{1}{6}; \quad \frac{S}{80} - \frac{S}{90} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}; \quad \frac{S}{720}(9 - 8) = \frac{1}{2}; \quad \frac{S}{720} = \frac{1}{2}; \quad S = 360 \text{ км}. \] Ответ: 360 км.
- Могут ли оба числа быть нечётными?
Решение: Если оба числа нечетные, все цифры должны быть нечетными. В слове "СЛОВО" буква 'С' встречается дважды, поэтому её цифра должна повторяться. Но единственные нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. В произведении цифр должны присутствовать только нечетные множители. Однако так как в слове "МУДРОСТЬ" 8 букв, произведение восьми нечетных цифр будет нечетным. В слове "СЛОВО" произведение 5 цифр тоже нечетное. Однако равенство произведений возможно, если они совпадают. Однако некоторые цифры повторяются, например 'О' и 'С' в "СЛОВО", что запрещено. Следовательно, невозможно.
Ответ: Нет, не могут.
- Когда родилась Дарья? Решение: Пусть возраст Дарьи $x$ полных лет и $m$ месяцев ($0 \le m < 12$). Тогда: \[ 12x + m - x = 11x + m = 111; \] \[ 11x = 111 - m; \quad x = \frac{111 - m}{11}. \] Перебирая возможные $m$, находим: \[ m = 111 - 11x \quad \Rightarrow \quad x = 10; \quad m = 1. \] На момент 14.04.2019 ей было 10 лет и 1 месяц. Дата рождения: 14.03.2009. Ответ: 14 марта 2009 года.
Материалы школы Юайти