Лицей КФУ из 5 в 6 класс 2019 год вариант 2

ЛИЦЕЙ КФУ

2019 год

Вариант 2

Часть 1. Математика.

1. Вычислите: \[ \bigl(0{,}9893 : 0{,}13 - 6{,}4\bigr)\cdot 62{,}9 - 7{,}109. \]
2. Цену на товар сначала повысили на $20\%$, а затем понизили на $20\%$. Как и на сколько процентов изменилась первоначальная цена товара?
3. Решите уравнение: \[ 32{,}4 : \bigl(7{,}06x - 101{,}2\bigr)\cdot 1{,}8 = 1{,}458. \]
4. От речной пристани отправился плот. Через $0{,}4$ часа вслед за ним вышла лодка и ещё через $0{,}4$ часа обогнала плот на 4 км. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 2 км/ч.
5. Если пешеход из пункта $A$ в пункт $B$ будет идти со скоростью 5 км/ч, то он опоздает на 45 минут, а если будет идти со скоростью 6 км/ч, то при придёт раньше на 15 минут. Найдите расстояние между пунктами $A$ и $B$.

Часть 2. Логика.

1. Если в словах $\emph{НОВОСТИ}$ и $\emph{ТЕХНИКА}$ каждую букву заменить определённой цифрой (разным буквам соответствуют разные цифры), то получатся два числа. Известно, что у этих чисел произведения цифр равны. Могут ли оба числа быть нечётными?
2. 30 мая 2018 года Софья сказала: «Разность между числами прожитых мною месяцев и прожитых полных лет сегодня впервые стала равна 111». Когда она родилась?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \bigl(0{,}9893 : 0{,}13 - 6{,}4\bigr)\cdot 62{,}9 - 7{,}109. \] Решение: \[ 0{,}9893 : 0{,}13 = 7{,}61 \] \[ 7{,}61 - 6{,}4 = 1{,}21 \] \[ 1{,}21 \cdot 62{,}9 = 76{,}109 \] \[ 76{,}109 - 7{,}109 = 69 \] Ответ: 69.
2. Цену на товар сначала повысили на $20\%$, а затем понизили на $20\%$. Как и на сколько процентов изменилась первоначальная цена товара?
   Решение: Пусть исходная цена $P$. После повышения: $1{,}2P$. После понижения: $1{,}2P \cdot 0{,8} = 0{,}96P$.
   Изменение: $P - 0{,}96P = 0{,}04P$ (понижение на $4\%$).
   Ответ: уменьшилась на $4\%$.
3. Решите уравнение: \[ 32{,}4 : \bigl(7{,}06x - 101{,}2\bigr)\cdot 1{,}8 = 1{,}458. \] Решение: \[ 32{,}4 : (7{,}06x - 101{,}2) = \frac{1{,}458}{1{,}8} = 0{,}81 \] \[ 7{,}06x - 101{,}2 = \frac{32{,}4}{0{,}81} = 40 \] \[ 7{,}06x = 141{,}2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{141{,}2}{7{,}06} = 20 \] Ответ: 20.
4. Собственная скорость лодки:
   Решение: Пусть скорость лодки $v$ км/ч, скорость течения 2 км/ч. Путь плота за $0{,}8$ ч: $2 \cdot 0{,}8 = 1{,}6$ км. Путь лодки за $0{,}4$ ч: $(v + 2) \cdot 0{,4}$.
   Уравнение: \[ (v + 2) \cdot 0{,4} - 1{,}6 = 4 \quad \Rightarrow \quad 0{,4}v + 0{,8 - 1,6 = 4} \] \[ 0{,}4v = 4{,}8 \quad \Rightarrow \quad v = 12 \text{ км/ч}. \] Ответ: 12 км/ч.
5. Расстояние между пунктами:
   Решение: Пусть расстояние $S$ км. Время при скорости 5 км/ч: $\frac{S}{5}$, при 6 км/ч: $\frac{S}{6}$. Разница времени: 45 мин + 15 мин = 1 ч. \[ \frac{S}{5} - \frac{S}{6} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{S}{30} = 1 \quad \Rightarrow \quad S = 30 \text{ км}. \] Ответ: 30 км.
6. Могут ли оба числа быть нечётными?
   Решение: Для нечётности всех цифр требуется 10 различных нечётных цифр, но их всего 5 (1, 3, 5, 7, 9). Невозможно назначить разные цифры всем буквам.
   Ответ: Нет.
7. Дата рождения Софьи:
   Решение: Уравнение $11Y + M = 111$. При $Y = 10$, $M = 1$. Дата: 30 мая 2018 − 10 лет 1 месяц = 30 апреля 2008.
   Ответ: 30 апреля 2008 года.