8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 5 в 6 класс 2019 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2019
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2019 год


Вариант 1



Часть 1. Математика

  1. Вычислите: \[ \bigl(6{,}8547 : 2{,}19 + 0{,}6039:5{,}49\bigr) : 1{,}62. \]
  2. Процентное содержание соли в растворе сначала снизилось на $20\%$, а затем повысилось на $20\%$. Как и на сколько процентов изменилось первоначальное содержание соли?
  3. Решите уравнение: \[ 24{,}8 : \bigl(6{,}08x - 20{,}8\bigr)\cdot 2{,}7 = 1{,}674. \]
  4. От пристани $A$ к пристани $B$, расстояние до которой равно $28{,}8$ км, отправился плот. Через $0{,}4$ часа навстречу ему от пристани $B$ вышел катер, собственная скорость которого равна $17{,}5$ км/ч, и встретился с плотом через $1{,}6$ часа. Найдите скорость течения реки.
  5. Если автомобиль из пункта $A$ в пункт $B$ будет ехать со скоростью $80$ км/ч, то он опоздает на $20$ минут, а если будет ехать со скоростью $90$ км/ч, то приедет раньше на $10$ минут. Найдите расстояние между пунктами $A$ и $B$.


Часть 2. Логика

  1. Если в словах УЧИТЕЛЬ и БУДУЩЕЕ каждую букву заменить определённой цифрой (разным буквам соответствуют разные цифры), то получится два числа. Известно, что у этих чисел произведения цифр равны. Могут ли оба числа быть нечётными?
  2. 25 марта 2019 года Максим сказал: «Разность между числами прожитых мною месяцев и прожитых полных лет сегодня впервые стала равна 111». Когда он родился?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \bigl(6{,}8547 : 2{,}19 + 0{,}6039:5{,}49\bigr) : 1{,}62. \] Решение:
    Первое действие: $6{,}8547 : 2{,}19 = 3{,}13$
    Второе действие: $0{,}6039 : 5{,}49 = 0{,}11$
    Далее сумма: $3{,}13 + 0{,}11 = 3{,}24$
    Заключительное деление: $3{,}24 : 1{,}62 = 2$
    Ответ: $2$.

  2. Процентное содержание соли в растворе сначала снизилось на $20\%$, а затем повысилось на $20\%$. Как и на сколько процентов изменилось первоначальное содержание соли?
    Решение: Пусть первоначальное содержание соли — $x\%$. После снижения: $x \cdot 0{,}8 = 0{,}8x\%$. После увеличения: $0{,}8x \cdot 1{,}2 = 0{,}96x\%$. Изменение: $x - 0{,}96x = 0{,}04x$ (уменьшение на $4\%$). Ответ: уменьшилось на $4\%$.

  3. Решите уравнение: \[ 24{,}8 : \bigl(6{,}08x - 20{,}8\bigr)\cdot 2{,}7 = 1{,}674. \] Решение:
    $24{,}8 : (6{,}08x - 20{,}8) \cdot 2{,}7 = 1{,}674$
    $24{,}8 : (6{,}08x - 20{,}8) = 1{,}674 : 2{,}7 = 0{,}62$
    $6{,}08x - 20{,}8 = 24{,}8 : 0{,}62 = 40$
    $6{,}08x = 40 + 20{,}8 = 60{,}8$
    $x = 60{,}8 : 6{,}08 = 10$ Ответ: $10$.

  4. От пристани $A$ к пристани $B$, расстояние до которой равно $28{,}8$ км, отправился плот. Через $0{,}4$ часа навстречу ему от пристани $B$ вышел катер, собственная скорость которого равна $17{,}5$ км/ч, и встретился с плотом через $1{,}6$ часа. Найдите скорость течения реки.
    Решение: Пусть скорость течения — $v$ км/ч. Плот двигался $0{,}4 + 1{,}6 = 2$ часа. Расстояние, пройденное плотом: $2v$ км. Скорость катера против течения: $17{,}5 - v$ км/ч. Расстояние, пройденное катером: $1{,}6 \cdot (17{,}5 - v)$ км. Суммарное расстояние: $2v + 1{,}6(17{,}5 - v) = 28{,}8$
    $2v + 28 - 1{,}6v = 28{,}8$
    $0{,}4v = 0{,}8$
    $v = 0{,}8 : 0{,}4 = 2$ км/ч. Ответ: $2$ км/ч.

  5. Если автомобиль из пункта $A$ в пункт $B$ будет ехать со скоростью $80$ км/ч, то он опоздает на $20$ минут, а если будет ехать со скоростью $90$ км/ч, то приедет раньше на $10$ минут. Найдите расстояние между пунктами $A$ и $B$.
    Решение: Пусть $S$ — расстояние (км), $t$ — плановое время (часы). Уравнения: $\frac{S}{80} = t + \frac{20}{60}$ $\frac{S}{90} = t - \frac{10}{60}$ Вычитаем второе из первого: $\frac{S}{80} - \frac{S}{90} = \frac{20}{60} + \frac{10}{60} = 0{,}5$ $\frac{S}{720} = 0{,}5$ $S = 0{,}5 \cdot 720 = 360$ км. Ответ: $360$ км.



  6. Могут ли оба числа (УЧИТЕЛЬ и БУДУЩЕЕ) быть нечётными, если произведения их цифр равны?
    Решение: Если оба числа нечётные, все цифры в них нечётные. В слове БУДУЩЕЕ буква «Е» повторяется дважды, что требует одинаковых цифр. Однако условие требует, чтобы «разным буквам соответствовали разные цифры». Буква «Е» встречается дважды — допустимо (т.к. цифра одна). Произведение цифр УЧИТЕЛЬ и БУДУЩЕЕ должно быть равно. Но так как все цифры нечётные, их произведение будет нечётным. Однако произведение восьми нечётных цифр (БУДУЩЕЕ: 8 букв, если считать каждую «Е») дает нечётное число. УЧИТЕЛЬ — 7 букв. Произведение 7 нечётных чисел тоже нечётное. Теоретически возможно, но требований к равенству произведений противоречий нет. Ответ: Да, могут.

  7. Разность между числами прожитых месяцев и прожитых лет равна 111. Найти дату рождения.
    Решение: Пусть прожито $a$ полных лет и $m$ месяцев ($m < 12$). Уравнение: $(12a + m) - a = 11a + m = 111$ $11a = 111 - m$ Поскольку $m < 12$, максимальное $11a = 111 - 0 = 111 \Rightarrow a = 10$, тогда $m = 111 - 11 \cdot 10 = 1$ месяц. Значит, Максиму исполнилось 10 лет и 1 месяц на 25 марта 2019. Дата рождения: 25 февраля 2009 года. Ответ: 25 февраля 2009 года.
Материалы школы Юайти