Лицей КФУ из 5 в 6 класс 2018 год вариант 4

ЛИЦЕЙ КФУ

2018 год

Вариант 4

Часть I

1. Найдите значение выражения \[ (3{,}15 * 4{,}3 - 4{,}01 * 2{,}5) : 4{,}4. \]
2. Решите уравнение:
   1. \(6 - 4\dfrac{3}{4} + x + 8\dfrac{1}{4} = 11\dfrac{1}{2}.\)
   2. \(11{,}2 : (10{,}4 - 2x) * 0{,}31 = 0{,}868.\)
3. В мае прибыль завода оказалась на 5% меньше, чем в апреле, а в июне на 8% больше, чем в апреле. Прибыль за июнь больше на 26 тыс.руб., чем за май. Какую прибыль получил завод за три месяца?
4. От речной пристани отправился плот. Через 0,2 ч вслед за ним вышла лодка и ещё через 0,6 ч обогнала плот на 10,2 км. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 3 км/ч.
5. 1. Какую из этих фигур нельзя разрезать на 4 прямоугольника \(1\times3\)? Объясните ответ.
      
   2. Как тремя прямолинейными разрезами разделить круглый торт на восемь частей?

Часть II. Логика

1. Найдите натуральное двузначное число, которое на 34 больше произведения своих цифр.
2. Можно ли числа \(1,2,\dots,99\) разбить на несколько групп так, чтобы в каждой группе максимальное число равнялось сумме всех остальных?

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ (3{,}15 \cdot 4{,}3 - 4{,}01 \cdot 2{,}5) : 4{,}4 \] Решение: $$\begin{aligned} 3{,}15 \cdot 4{,}3 &= 13{,}545 \\ 4{,}01 \cdot 2{,}5 &= 10{,}025 \\ 13{,}545 - 10{,}025 &= 3{,}52 \\ 3{,}52 : 4{,}4 &= 0{,}8 \end{aligned}$$ Ответ: $0{,}8$.
2. Решите уравнение:
   1. \(6 - 4\dfrac{3}{4} + x + 8\dfrac{1}{4} = 11\dfrac{1}{2}.\) Решение: $$\begin{aligned} 6 - \frac{19}{4} + x + \frac{33}{4} &= \frac{23}{2} \\ \left(6 + \frac{-19 + 33}{4}\right) + x &= \frac{23}{2} \\ \left(6 + \frac{14}{4}\right) + x &= 11{,}5 \\ 6 + 3{,}5 + x &= 11{,}5 \\ x &= 2 \end{aligned}$$ Ответ: 2.
   2. \(11{,}2 : (10{,}4 - 2x) \cdot 0{,}31 = 0{,}868.\) Решение: $$\begin{aligned} 11{,}2 : (10{,}4 - 2x) &= \frac{0{,}868}{0{,}31} \\ 11{,}2 : (10{,}4 - 2x) &= 2{,}8 \\ 10{,}4 - 2x &= 11{,}2 : 2{,}8 \\ 10{,}4 - 2x &= 4 \\ 2x &= 6{,}4 \\ x &= 3{,}2 \end{aligned}$$ Ответ: 3,2.
3. Прибыль в июне больше майской на 26 тыс.руб. Прибыль в мае составила 95% от апреля, прибыль в июне — 108% от апреля. Разница составляет $13\%$: $$\begin{aligned} 1{,}08A - 0{,}95A &= 0{,}13A = 26 \\ A &= 200 \text{ тыс.\,руб.} \end{aligned}$$ Общая прибыль за три месяца: \(200 + 200 \cdot 0{,}95 + 200 \cdot 1{,}08 = 200 + 190 + 216 = 606\) тыс.руб. Ответ: 606 тыс.руб.
4. Пусть собственная скорость лодки \(v\) км/ч. За время движения лодки $(0{,}6 ч)$ плот проплыл \(3 \cdot (0{,}2 + 0{,}6) = 2{,}4\) км. Лодка прошла: \[ (v + 3) \cdot 0{,}6 - 3 \cdot 0{,}8 = 10{,}2 \\ 0{,}6v + 1{,}8 - 2{,}4 = 10{,}2 \\ 0{,}6v = 10{,}8 \\ v = 18 \text{ км/ч} \] Ответ: 18 км/ч.
5. 1. Фигура Б не разрезается на \(1 \times 3\). Причина: площадь равна \(3 \times 5 = 15\) клеток. Для прямоугольников \(1 \times 3\) нужно \(15 : 3 = 5\) штук. Раскраска в три цвета показывает, что баланс цветов нарушен. Ответ: Фигура Б.
   2. Тремя вертикальными разрезами через центр под углами \(60^\circ\), \(180^\circ\), \(300^\circ\) получим 6 секторов. Добавив горизонтальный разрез посередине торта — итого 8 частей. Ответ: Два горизонтальных разреза и один вертикальный через центр.
6. Пусть двузначное число \(10a + b\). Уравнение: \[ 10a + b = ab + 34 \\ ab - 10a - b = -34 \\ (a - 1)(b - 10) = 24 \] Натуральные решения: \((a - 1, b - 10) = (6,4)\) → \(a=7\), \(b=14\) (недопустимо) \((a - 1, b - 10) = (4,6)\) → \(a=5\), \(b=16\) (недопустимо) \((a - 1, b - 10) = (3,8)\) → \(a=4\), \(b=18\) (недопустимо) \((a - 1, b - 10) = (8,3)\) → \(a=9\), \(b=13\) (недопустимо) Верное решение: \(a=3\), \(b=14\) → Число 38 (\(3 \cdot 8 + 34 = 24 + 34 = 58\) ошибочно). Корректное решение: подбором: 10a + b = ab + 34. Проверим для \(a=5\):
   
   50 + b = 5b +34 → 50-34=4b → b=4 → Число 54 (5*4 +34=20+34=54). Ответ: 54.
7. Да, можно. Пример групп:
   • \(3 = 1 + 2\)
   • \(6 = 1 + 2 + 3\)
   • \(10 = 1 + 2 + 3 + 4\)
   • ... и так до чисел, где сумма предыдущих равна следующему.
   Конкретный алгоритм: включать в группу максимальное число и необходимые меньшие числа до заполнения суммы. Ответ: Да, возможно.