Лицей КФУ из 5 в 6 класс 2018 год вариант 3

ЛИЦЕЙ КФУ

2018 год

Вариант 3

1. Найдите значение выражения \[ (2{,}17 * 3{,}7 - 1{,}83 * 2{,}3) : 19{,}1. \]
2. Решите уравнение:
   1. \(8 - 2\dfrac{1}{4} + x + 4\dfrac{1}{4} = 10\dfrac{1}{2}.\)
   2. \(14{,}4 : (9{,}9 - 3x) * 0{,}51 = 2{,}448.\)
3. В феврале прибыль завода оказалась на 10% больше, чем в январе, а в марте на 4% меньше, чем в январе. Прибыль за февраль больше на 35 тыс.руб., чем за март. Какую прибыль получил завод за три месяца?
4. От пристани \(A\) к пристани \(B\), расстояние до которой равно 38,4 км, отправился плот. Через 0,2 ч навстречу ему от пристани \(B\) вышел катер, собственная скорость которого равна 21 км/ч, и встретился с плотом через 1,8 ч. Найдите скорость течения реки.
5. 1. Какой квадратик надо добавить, чтобы в получившемся квадрате была закрашена ровно половина площади? Объясните ответ.
      
   2. Как тремя прямолинейными разрезами разделить круглый торт на семь частей?

Часть II. Логика

1. Сумма цифр натурального двузначного числа на 19 меньше их произведения. Найдите это число.
2. Можно ли числа \(1,2,\dots,61\) разбить на несколько групп так, чтобы в каждой группе максимальное число равнялось сумме всех остальных?

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ (2{,}17 \cdot 3{,}7 - 1{,}83 \cdot 2{,}3) : 19{,}1. \]
   Решение: Найдем значения произведений:
   $2{,}17 \cdot 3{,}7 = 8{,}029$
   $1{,}83 \cdot 2{,}3 = 4{,}209$
   Разность: $8{,}029 - 4{,}209 = 3{,}82$
   Деление: $3{,}82 : 19{,}1 = 0{,}2$
   Ответ: 0,2.
2. Решите уравнение:
   1. \(8 - 2\dfrac{1}{4} + x + 4\dfrac{1}{4} = 10\dfrac{1}{2}.\)
      Решение: Переведем смешанные дроби:
      $8 - 2{,}25 + x + 4{,}25 = 10{,}5$
      $8 - 2{,}25 = 5{,}75$; $5{,}75 + 4{,}25 = 10$
      Уравнение: $10 + x = 10{,}5 \Rightarrow x = 0{,}5$
      Ответ: 0,5.
   2. \(14{,}4 : (9{,}9 - 3x) \cdot 0{,}51 = 2{,}448.\)
      Решение: Перепишем уравнение:
      $14{,}4 : (9{,}9 - 3x) = 2{,}448 : 0{,}51 = 4{,}8$
      $9{,}9 - 3x = 14{,}4 : 4{,}8 = 3$
      $-3x = 3 - 9{,}9 = -6{,}9 \Rightarrow x = \frac{-6{,}9}{-3} = 2{,}3$
      Ответ: 2,3.
3. В феврале прибыль завода оказалась на 10% больше, чем в январе, а в марте на 4% меньше, чем в январе. Прибыль за февраль больше на 35 тыс.руб., чем за март. Какую прибыль получил завод за три месяца?
   Решение: Пусть прибыль в январе — $x$ тыс. руб. Тогда:
   Февраль: $1{,}1x$, март: $0{,}96x$.
   Разница: $1{,}1x - 0{,}96x = 0{,}14x = 35 \Rightarrow x = 250$
   Общая прибыль: $250 + 1{,}1 \cdot 250 + 0{,}96 \cdot 250 = 250(1 + 1{,}1 + 0{,}96) = 250 \cdot 3{,}06 = 765$ тыс. руб.
   Ответ: 765 тыс. руб.
4. От пристани \(A\) к пристани \(B\), расстояние до которой равно 38,4 км, отправился плот. Через 0,2 ч навстречу ему от пристани \(B\) вышел катер, собственная скорость которого равна 21 км/ч, и встретился с плотом через 1,8 ч. Найдите скорость течения реки.
   Решение: Скорость течения (плота) — $v$ км/ч. Катер шел против течения со скоростью $21 - v$. За время движения:
   Плот: $t = 0{,}2 + 1{,}8 = 2$ ч, путь: $2v$
   Катер: путь $(21 - v) \cdot 1{,}8$
   Суммарно: $2v + (21 - v) \cdot 1{,}8 = 38{,}4$
   $2v + 37{,}8 - 1{,}8v = 38{,}4 \Rightarrow 0{,}2v = 0{,}6 \Rightarrow v = 3$ км/ч
   Ответ: 3 км/ч.
5. 1. Какой квадратик надо добавить, чтобы в получившемся квадрате была закрашена ровно половина площади? Объясните ответ.
      Ответ: Закрасить квадрат, симметричный относительно центра (например, F4). Половина квадрата содержит 12 квадратиков, добавление одного завершит симметрию.
   2. Как тремя прямолинейными разрезами разделить круглый торт на семь частей?
      Ответ: Первый разрез горизонтальный, делящий торт пополам. Следующие два разреза – вертикальные, пересекающиеся так, чтобы каждое пересечение добавляло новые секции. В итоге: 2 + 2 + 3 = 7 частей.
6. Сумма цифр натурального двузначного числа на 19 меньше их произведения. Найдите это число.
   Решение: Пусть число $10a + b$, тогда:
   $a + b = ab - 19 \rightarrow (a-1)(b-1) = 20$
   Варианты: $(a-1 = 5,\ b-1 = 4) \rightarrow 65$; $(a-1 = 4,\ b-1 = 5) \rightarrow 56$
   Ответ: 56 или 65.
7. Можно ли числа \(1,2,\dots,61\) разбить на несколько групп так, чтобы в каждой группе максимальное число равнялось сумме всех остальных?
   Решение: Сумма всех чисел от 1 до 61: $\frac{61 \cdot 62}{2} = 1891$ (нечетная). Если группы имеют суммы вида $2m$, общая сумма должна быть четной, что противоречит нечетности 1891. Ответ: нельзя.
   Ответ: Нет.