Лицей КФУ из 5 в 6 класс 2018 год вариант 2

ЛИЦЕЙ КФУ

2018 год

Вариант 2

1. Найдите значение выражения \[ (534{,}6 : (13{,}2 - 9{,}76)) * 4{,}5 + 61{,}7. \]
2. Решите уравнение:
   1. \(17 - 8\dfrac{3}{4} + x + 3\dfrac{1}{4} = 16\dfrac{1}{2}.\)
   2. \(32{,}4 : (7{,}06x - 101{,}2) * 1{,}8 = 1{,}458.\)
3. В первом полугодии завод перевыполнил план на $12\%$, а во втором недовыполнил на $7\%$, выпустив на 95 единиц продукции меньше, чем в первом полугодии. Каков годовой план завода?
4. От речной пристани отправился плот. Через 0,4 часа вслед за ним вышла лодка и ещё через 0,4 часа обогнала плот на 4 км. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 2 км/ч.
5. 1. Для того, чтобы покрасить кубик, изображённый на левом рисунке, понадобилось 9 кг краски. Сколько краски потребуется, чтобы покрасить фигуру, изображённую на правом рисунке? Объясните ответ.
      
   2. Как тремя прямолинейными разрезами разделить круглый торт на восемь частей?

1. Натуральное двузначное число на 25 больше произведения своих цифр. Какое это число?
2. Можно ли числа \(1,2,\dots,53\) разбить на несколько групп так, чтобы в каждой группе максимальное число равнялось сумме всех остальных?

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ (534{,}6 : (13{,}2 - 9{,}76)) \cdot 4{,}5 + 61{,}7. \]
   Решение: \[ 13{,}2 - 9{,}76 = 3{,}44 \] \[ 534{,}6 : 3{,}44 = 155{,}4069767 \] \[ 155{,}4069767 \cdot 4{,}5 = 699{,}331395 \] \[ 699{,}331395 + 61{,}7 = 761{,}031395 \approx 761{,}03 \] Ответ: 761,03.
   
   
2. Решите уравнение:
   1. \(17 - 8\dfrac{3}{4} + x + 3\dfrac{1}{4} = 16\dfrac{1}{2}\)
      Решение: \[ 17 - \frac{35}{4} + x + \frac{13}{4} = \frac{33}{2} \] \[ 17 - \frac{22}{4} + x = \frac{33}{2} \] \[ 11{,}5 + x = 16{,}5 \quad \Rightarrow \quad x = 5 \] Ответ: 5.
   2. \(32{,}4 : (7{,}06x - 101{,}2) \cdot 1{,}8 = 1{,}458\)
      Решение: \[ 7{,}06x - 101{,}2 = \frac{32{,}4 \cdot 1{,}8}{1{,}458} = 40 \] \[ 7{,}06x = 141{,}2 \quad \Rightarrow \quad x = 20 \] Ответ: 20.
   
   
   
3. Годовой план завода:
   Решение: Пусть годовой план \(x\). Тогда: \[ 1{,}12 \cdot \frac{x}{2} - 0{,}93 \cdot \frac{x}{2} = 95 \] \[ 0{,}19 \cdot \frac{x}{2} = 95 \quad \Rightarrow \quad x = 1000 \] Ответ: 1000 единиц.
   
   
4. Задача на движение:
   Решение: Пусть собственная скорость лодки \(v\) км/ч: \[ (v + 2) \cdot 0{,}4 - 2 \cdot 0{,}8 = 4 \] \[ 0{,}4v = 4{,}8 \quad \Rightarrow \quad v = 12 \] Ответ: 12 км/ч.
   
   
5. 1. Покраска фигуры:
      Решение: Если правый рисунок состоит из трёх кубиков с общей площадью поверхности 14 граней (2 дополнительных кубика добавляют по 4 грани каждый), то: \[ \frac{14}{6} \cdot 9 = 21 \text{ кг} \] Ответ: 21 кг.
   2. Разделить торт тремя разрезами:
      Ответ: Сделать один горизонтальный разрез посередине, затем два вертикальных разреза под прямым углом, разделив каждую половину на 4 части.
   
   
   
6. Двузначное число:
   Решение: Пусть число \(\overline{ab} = 10a + b\): \[ 10a + b = ab + 25 \quad \Rightarrow \quad 10a + b = ab + 25 \] Подбор: \(a = 5\), \(b = 0\): \(50 = 5 \cdot 0 + 25\) — неверно. \(a = 3\), \(b = 5\): \(35 = 3 \cdot 5 + 25 = 40\) — неверно. \(a = 5\), \(b = 5\): \(55 = 25 + 25 = 50\) — неверно. Единственное подходящее: \(a = 5\), \(b = 0\) не подходит. Правильное решение: уравнение \(10a + b - ab = 25\). Подбором находим \(a = 7\), \(b = 5\): \(75 - 35 = 40\)? Нет. Ответ: 53 (\(53 - 15 = 38\)?). Возможно, правильный ответ 35: \(35 - 15 = 20 ≠25\). Лучше системно проверить уравнение: \(10a + b -ab =25\). Меняем на множители: \(a(10 - b) +b =25\). Перебор цифр a и b (от 1 до9). При \(a=5\), \(10 -b =5\) →b=5: \(5*5 +5=30≠25\). Ответ:35 является решением. Но возможно ошибка. Правильный ответ: 53 (например), если \(53 - 5*3=53-15=38≠25\). Возможно ошибка в задании, верный ответ:не существует. Но в реальности ответ: 35 не подходит. Возможно правильное число 53?
   
   Ой, похоже есть ошибка в расчетах. Решим уравнение:
   
   10a + b - ab =25 → 10a -ab =25 -b → a(10 -b)=25 -b ⇒
   
   25 -b должно делиться на 10 -b. Перебор:
   
   Пусть 10 -b=5 →b=5 ⇒a= (25 -5)/5=20/5=4. Тогда число 45 ⇒45 -4*5=45-20=25. Верно! Ответ:45.
   
   
   Ответ: 45.
   
   
7. Разбиение чисел 1-53:
   Ответ: Да. Пример: группы $\{53, 35, 18\}, \{52, 34, 18\},$ и так далее, где максимальное число равно сумме остальных. Однако конкретные группы зависят от подбора. Общий принцип: максимальное число в группе равно сумме всех остальных, например $\{53, 52,1\}, \{51,50,1\},$ и т.д. вплоть до исчерпания всех чисел.