Лицей КФУ из 5 в 6 класс 2017 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ КФУ
2017 год
Вариант 2
- Вычислите: \[ \frac{6{,}2 \times 1{,}9 + 8{,}6 \times 1{,}2}{7{,}6 \times 0{,}45 - 0{,}43 \times 4} \]
- Решите уравнение: \[ \frac{5}{6}x + \frac{1}{9} \;-\;\Bigl(5 - \tfrac{1}{2}x\Bigr) \;=\;\frac{4}{9} - \tfrac{1}{3}x \]
- Все участники конкурса талантов показывали танец или пели песни. При этом \(5/7\) конкурсантов пели песни, \(8/9\) — танцевали, а 76 участников и пели, и танцевали. Сколько человек приняли участие в конкурсе?
- Теплоход проплывает расстояние от пункта \(A\) до пункта \(B\) по течению реки в \(1{,}5\) раза быстрее, чем от пункта \(B\) до пункта \(A\) (против течения). На весь путь туда и обратно он тратит 30 часов. За сколько часов расстояние от \(A\) до \(B\) проплывёт плот?
- Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 8 даёт остаток 5, а при делении на 9 даёт остаток 2.
Часть II. Логика
- Катя в четыре раза моложе мамы и в три раза старше брата Вити. Сколько лет Кате, если Витя моложе мамы на 33 года?
- Имеется 11 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 3 или 7 частей, некоторые из образовавшихся снова разрезали на 3 или 7 частей. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 частей? Ответ объясните.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите:
\[
\frac{6{,}2 \times 1{,}9 + 8{,}6 \times 1{,}2}{7{,}6 \times 0{,}45 - 0{,}43 \times 4}
\]
Решение:
Вычислим числитель и знаменатель отдельно:
\[
\text{Числитель: } 6{,}2 \cdot 1{,}9 + 8{,}6 \cdot 1{,}2 = 11{,}78 + 10{,}32 = 22{,}1
\]
\[
\text{Знаменатель: } 7{,}6 \cdot 0{,}45 - 0{,}43 \cdot 4 = 3{,}42 - 1{,}72 = 1{,}7
\]
Тогда:
\[
\frac{22{,}1}{1{,}7} = 13
\]
Ответ: 13.
- Решите уравнение:
\[
\frac{5}{6}x + \frac{1}{9} \;-\;\Bigl(5 - \tfrac{1}{2}x\Bigr) \;=\;\frac{4}{9} - \tfrac{1}{3}x
\]
Решение:
Раскроем скобки и приведём подобные:
\[
\frac{5}{6}x + \frac{1}{9} - 5 + \frac{1}{2}x = \frac{4}{9} - \frac{1}{3}x
\]
\[
\frac{5}{6}x + \frac{1}{2}x - \frac{44}{9} = \frac{4}{9} - \frac{1}{3}x
\]
\[
\frac{4}{3}x - \frac{44}{9} = \frac{4}{9} - \frac{1}{3}x
\]
Перенесем все слагаемые с \(x\) влево, а числа вправо:
\[
\frac{4}{3}x + \frac{1}{3}x = \frac{44}{9} + \frac{4}{9}
\]
\[
\frac{5}{3}x = \frac{48}{9} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{48}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{16}{5} = 3{,}2
\]
Ответ: \(3{,}2\).
- Все участники конкурса пели или танцевали. \(\frac{5}{7}\) пели, \(\frac{8}{9}\) танцевали, 76 и пели, и танцевали. Сколько участников?
Решение: Пусть всего участников \(n\). По формуле включения-исключения: \[ \frac{5}{7}n + \frac{8}{9}n - n = 76 \] \[ \frac{38}{63}n = 76 \quad \Rightarrow \quad n = 76 \cdot \frac{63}{38} = 126 \] Ответ: 126.
- Теплоход проплывает от \(A\) до \(B\) в \(1{,}5\) раза быстрее, чем обратно. На весь путь — 30 часов. Найти время плота (по течению).
Решение: Пусть скорость теплохода \(v\), течение \(c\). Тогда: \[ v + c = 1{,}5(v - c) \quad \Rightarrow \quad v = 5c \] Время пути: \[ \frac{S}{6c} + \frac{S}{4c} = 30 \quad \Rightarrow \quad S = 72c \] Время плота (\(= \frac{S}{c}\)): \[ \frac{72c}{c} = 72 \text{ часа} \] Ответ: 72.
- Найти наименьшее натуральное число, дающее остатки 5 и 2 при делении на 8 и 9.
Решение: Представим число в виде \(8k + 5\): \[ 8k + 5 \equiv 2 \mod{9} \quad \Rightarrow \quad 8k \equiv -3 \equiv 6 \mod{9} \] Обратный элемент к 8 по модулю 9: 8 (\(8 \cdot 8 \equiv 1 \mod{9}\)). \[ k \equiv 6 \cdot 8 \equiv 3 \mod{9} \quad \Rightarrow \quad k = 9m + 3 \] Тогда число: \[ 8(9m + 3) + 5 = 72m + 29 \quad (m=0 \Rightarrow 29) \] Ответ: 29.
- Катя в 4 раза младше мамы и в 3 раза старше Вити. Витя младше мамы на 33 года. Найти возраст Кати.
Решение: Пусть возраст Кати — \(k\), тогда мамы — \(4k\), Вити — \(\frac{k}{3}\). Разница: \[ 4k - \frac{k}{3} = 33 \quad \Rightarrow \quad \frac{11k}{3} = 33 \quad \Rightarrow \quad k = 9 \] Ответ: 9.
- Можно ли из 11 листов получить 100 частей, разрезая на 3 или 7 частей?
Решение: Каждый разрез добавляет 2 или 6 частей (чётное число). Начальное количество нечётное (11). Через операции сохраняется чётность. 100 — чётное. Ответ: Невозможно.
Ответ: Нет.
Материалы школы Юайти