Лицей КФУ из 5 в 6 класс 2017 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2017 год

Вариант 1

1. Вычислите: \[ \frac{3{,}7 \times 2{,}1 + 1{,}3 \times 10{,}1}{5{,}2 \times 0{,}85 - 0{,}28 \times 9} \]
2. Решите уравнение: \[ \tfrac{2}{3}x - \tfrac{1}{9} \;-\;\Bigl(4 + \tfrac{1}{6}x\Bigr) \;=\; \tfrac{2}{9} - \tfrac{5}{6}x \]
3. Все участники конкурса талантов показывали танец или пели песни. При этом \(5/8\) конкурсантов пели песни, \(7/9\) — танцевали, а 87 участников и пели, и танцевали. Сколько человек приняли участие в конкурсе?
4. Теплоход проплывает расстояние от пункта \(A\) до пункта \(B\) по течению реки в \(1{,}4\) раза быстрее, чем от пункта \(B\) до пункта \(A\) (против течения). На весь путь туда и обратно он тратит 24 часа. За сколько часов расстояние от \(A\) до \(B\) проплывёт плот?
5. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 6 даёт остаток 5, а при делении на 7 даёт остаток 2.

Логика

1. Аня в шесть раз моложе мамы и в два раза старше брата Коли. Сколько лет Ане, если Коля моложе мамы на 33 года?
2. Имеется 9 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 5 или 9 частей, некоторые из образовавшихся снова разрезали на 5 или 9 частей. Можно ли после нескольких таких операций получить 120 частей? Ответ объясните.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{3{,}7 \times 2{,}1 + 1{,}3 \times 10{,}1}{5{,}2 \times 0{,}85 - 0{,}28 \times 9} \]
   Решение:
   Вычислим числитель:
   $3{,}7 \cdot 2{,}1 + 1{,}3 \cdot 10{,}1 = 7{,}77 + 13{,}13 = 20{,}9$
   Вычислим знаменатель:
   $5{,}2 \cdot 0{,}85 - 0{,}28 \cdot 9 = 4{,}42 - 2{,}52 = 1{,}9$
   Тогда значение выражения:
   $\frac{20{,}9}{1{,}9} = 11$
   Ответ: 11.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \tfrac{2}{3}x - \tfrac{1}{9} \;-\;\Bigl(4 + \tfrac{1}{6}x\Bigr) \;=\; \tfrac{2}{9} - \tfrac{5}{6}x \]
   Решение:
   Раскроем скобки и приведем подобные:
   $\tfrac{2}{3}x - \tfrac{1}{9} -4 - \tfrac{1}{6}x = \tfrac{2}{9} - \tfrac{5}{6}x$
   Перенесем все слагаемые с $x$ влево, свободные члены вправо:
   $\tfrac{2}{3}x - \tfrac{1}{6}x + \tfrac{5}{6}x = \tfrac{2}{9} + \tfrac{1}{9} +4$
   Упростим:
   $(\tfrac{4}{6} - \tfrac{1}{6} + \tfrac{5}{6})x = \tfrac{3}{9} +4$
   $\tfrac{8}{6}x = 4\tfrac{1}{3}$
   $\tfrac{4}{3}x = \tfrac{13}{3}$
   $x = \tfrac{13}{4} = 3{,}25$
   Ответ: 3,25.
   
   
3. Все участники конкурса талантов показывали танец или пели песни. При этом \(5/8\) конкурсантов пели песни, \(7/9\) — танцевали, а 87 участников и пели, и танцевали. Сколько человек приняли участие в конкурсе?
   Решение:
   Пусть общее количество участников $x$. По формуле включений-исключений:
   $\tfrac{5}{8}x + \tfrac{7}{9}x - x = 87$
   Приведем к общему знаменателю 72:
   $\tfrac{45}{72}x + \tfrac{56}{72}x - \tfrac{72}{72}x = 87$
   $\tfrac{29}{72}x = 87$
   $x = \tfrac{87 \cdot 72}{29} = 216$
   Ответ: 216.
   
   
4. Теплоход проплывает расстояние от пункта \(A\) до пункта \(B\) по течению реки в \(1{,}4\) раза быстрее, чем от пункта \(B\) до пункта \(A\) (против течения). На весь путь туда и обратно он тратит 24 часа. За сколько часов расстояние от \(A\) до \(B\) проплывёт плот?
   Решение:
   Пусть скорость теплохода $6u$, скорость течения $u$. Тогда время по течению $\tfrac{S}{7u}$, против течения $\tfrac{S}{5u}$.
   Общее время:
   $\tfrac{S}{7u} + \tfrac{S}{5u} =24$
   $\tfrac{12S}{35u} =24$
   $\tfrac{S}{u} =70$
   Время плота равно $\tfrac{S}{u} =70$ часов.
   Ответ: 70.
   
   
5. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 6 даёт остаток 5, а при делении на 7 даёт остаток 2.
   Решение:
   Число имеет вид $6k +5$. Условие $6k +5 \equiv2 \mod7$:
   $6k \equiv-3 \mod7$
   $k \equiv3 \mod7$
   Наименьшее $k=3$:
   $6 \cdot3 +5=23$
   Ответ: 23.
   
   
6. Аня в шесть раз моложе мамы и в два раза старше брата Коли. Сколько лет Ане, если Коля моложе мамы на 33 года?
   Решение:
   Пусть возраст Ани $x$. Тогда возраст мамы $6x$, возраст Коли $\tfrac{x}{2}$.
   Разница в возрасте:
   $6x - \tfrac{x}{2}=33$
   $\tfrac{11x}{2}=33$
   $x=6$
   Ответ: 6.
   
   
7. Имеется 9 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 5 или 9 частей, некоторые из образовавшихся снова разрезали на 5 или 9 частей. Можно ли после нескольких таких операций получить 120 частей? Ответ объясните.
   Решение:
   Каждая операция разрезания увеличивает количество листов на $4$ или $8$. Разность между конечным и начальным количеством: $120-9=111$.
   Уравнение $4a +8b=111$ не имеет целых решений, так как $111$ не кратно $4$.
   Ответ: Невозможно.