Лицей Ивацевичского района г. Бреста из 9 в 10 класс 2011 год вариант 1

Лицей Ивацевичского района г. Бреста

2011 год

Вариант 1

1. Упростить выражение: \[ \biggl(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1} - \frac{a^2 + 1}{1 - a^2}\biggr) \;: \frac{a^2 + a}{(1 - a)^2}. \]
2. Решить систему неравенств \[ \begin{cases} x^2 - 9 \lt 0\\ x^2 + 2x \gt 0 \end{cases} \] В ответе укажите количество натуральных решений системы.
3. Заказ на машины завод должен был выполнить по плану за 20 дней. Но уже за два дня до срока завод не только выполнил план, но и выпустил на 40 машин больше, так как ежедневно выпускал по 4 машины сверх плана. Сколько машин выпустил завод?
4. В окружность радиусом 5 см вписан треугольник, длины двух его сторон равны 4 см и 8 см. Найдите высоту треугольника, опущенную на третью сторону.
5. Решите уравнение \[ x^2 - \frac{3x^2}{\lvert x\rvert} = 0. \]

Решения задач

1. Упростить выражение: \[ \biggl(\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1} - \frac{a^2 + 1}{1 - a^2}\biggr) \;: \frac{a^2 + a}{(1 - a)^2}. \]
   Решение: \[ \begin{aligned} &\text{Упростим числитель:} \\ &\frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a + 1} - \frac{a^2 + 1}{1 - a^2} = \frac{a(a+1) - a(a-1) + a^2 + 1}{(a-1)(a+1)} = \frac{a^2 + a - a^2 + a + a^2 + 1}{(a-1)(a+1)} \\ &= \frac{a^2 + 2a + 1}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a + 1)^2}{(a-1)(a+1)} = \frac{a + 1}{a - 1}. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &\text{Разделим на знаменатель:} \\ &\frac{a + 1}{a - 1} : \frac{a(a + 1)}{(1 - a)^2} = \frac{a + 1}{a - 1} \cdot \frac{(a - 1)^2}{a(a + 1)} = \frac{a - 1}{a}. \end{aligned} \]
   Ответ: $\frac{a - 1}{a}$.
   
   
2. Решить систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 - 9 \lt 0,\\ x^2 + 2x \gt 0. \end{cases} \]
   Решение: \[ \begin{aligned} &1)\, x^2 - 9 < 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 3) 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty). \\ &\text{Пересечение: } x \in (-3; -2) \cup (0; 3). \\ &\text{Натуральные решения: } 1, 2. \end{aligned} \]
   Ответ: 2.
   
   
3. Завод выпустил на 40 машин больше плана за 18 дней, работая на 4 машины/день сверх плана.
   Решение: \[ \begin{aligned} &\text{Пусть плановая норма: } x \text{ машин/день}. \\ &\text{Фактическая норма: } x + 4. \\ &\text{Всего выпущено: } 18(x + 4) = 20x + 40. \\ &18x + 72 = 20x + 40 \Rightarrow 2x = 32 \Rightarrow x = 16. \\ &\text{Фактический выпуск: } 20 \cdot 16 + 40 = 360. \end{aligned} \]
   Ответ: 360 машин.
   
   
4. Высота треугольника, вписанного в окружность радиусом 5 см:
   Решение: \[ \begin{aligned} &\text{Используем формулу радиуса через площадь: } R = \frac{abc}{4S}. \\ &\text{Высота } h = \frac{2S}{c}. \\ &\text{Подстановка: } R = 5 = \frac{4 \cdot 8 \cdot c}{4 \cdot \frac{c h}{2}} \Rightarrow R = \frac{8c}{c h / 2} = \frac{16}{h} \Rightarrow h = \frac{16}{5} = 3,2 \text{ см}. \end{aligned} \]
   Ответ: 3,2 см.
   
   
5. Решение уравнения: \[ x^2 - \frac{3x^2}{\lvert x\rvert} = 0. \]
   Решение: \[ \begin{aligned} &x \neq 0: \\ &x^2 - 3|x| = 0 \Rightarrow |x|(|x| - 3) = 0 \Rightarrow |x| = 3 \Rightarrow x = \pm 3. \\ &x = 0 \text{ — не подходит (деление на 0)}. \end{aligned} \]
   Ответ: $-3$; $3$.