Лицей Ивацевичского района г. Бреста из 10 в 11 класс 2012 год вариант 1

Лицей Ивацевичского района г. Бреста

2012 год

Вариант 1

1. Решите неравенство $f'(x)\le0$, если $f(x)=\dfrac{x^2+5}{x-2}$.
   
   
2. Упростите выражение \[ \frac{\cos^4\alpha +2\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}{1-2\cos^2\alpha+\cos^4\alpha} +\frac{2\sin\frac\alpha2\cdot\cos\frac\alpha2}{\sin\alpha}. \]
   
   
3. Решите уравнение \[ 2\cos^2x +\sin^2x +5\sin x\cos x = -1. \]
   
   
4. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно $5$ см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$.
   
   
5. Двом рабочим было поручено изготовить партию одинаковых деталей. После того как первый проработал $2$ ч, а второй — $3$ ч, оказалось, что они выполнили $\tfrac{11}{30}$ всей работы. Проработав вместе ещё $2$ ч, они установили, что им осталось выполнить $\tfrac{1}{3}$ всей работы. За сколько часов каждый из рабочих, работая отдельно, мог бы выполнить всю работу?

Решения задач

1. Решите неравенство $f'(x)\le0$, если $f(x)=\dfrac{x^2+5}{x-2}$.
   Решение: Найдем производную функции $f(x)$: \[ f'(x) = \frac{(2x)(x-2) - (x^2 +5)(1)}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x -5}{(x-2)^2} \] Решаем неравенство: \[ \frac{x^2 - 4x -5}{(x-2)^2} \le 0 \] Квадрат знаменателя всегда положителен, поэтому числитель должен быть неположительным: \[ x^2 -4x -5 \le 0 \implies x \in [-1;5] \] С учетом области определения ($x \neq 2$): \[ x \in [-1;2) \cup (2;5] \] Ответ: $x \in [-1;2) \cup (2;5]$.
2. Упростите выражение \[ \frac{\cos^4\alpha +2\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}{1-2\cos^2\alpha+\cos^4\alpha} +\frac{2\sin\frac\alpha2\cdot\cos\frac\alpha2}{\sin\alpha}. \]
   Решение: Преобразуем первое слагаемое: \[ \frac{\cos^2\alpha(\cos^2\alpha +2\sin^2\alpha)}{\sin^4\alpha} = \frac{\cos^2\alpha(2 - \cos^2\alpha)}{\sin^4\alpha} \] Второе слагаемое упрощается до 1: \[ \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha} =1 \] Сумма выражений: \[ \frac{\cos^2\alpha(2 - \cos^2\alpha) + \sin^4\alpha}{\sin^4\alpha} +1 = \frac{1}{\sin^4\alpha} +1 \] Упрощая окончательно: \[ \frac{1}{\sin^4\alpha} \] Ответ: $\frac{1}{\sin^4\alpha}$.
3. Решите уравнение \[ 2\cos^2x +\sin^2x +5\sin x\cos x = -1. \]
   Решение: Преобразуем уравнение: \[ \cos^2x +1 +5\sin x\cos x +1 =0 \implies \cos^2x +5\sin x\cos x +2=0 \] Замена $t = \tan x$: \[ \frac{1}{1+t^2} + \frac{5t}{1+t^2} +2 =0 \implies 2t^2 +5t +3=0 \] Корни $t = -1$, $t = -\frac{3}{2}$. Решения: \[ x = -\frac{\pi}{4} +\pi n,\quad x = -\arctan\frac{3}{2} +\pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \] Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} +\pi n,\ x = -\arctan\frac{3}{2} +\pi n$.
4. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно $5$ см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$.
   Решение: Пусть $a$ — сторона основания, $H$ — высота пирамиды. Из условий задачи: \[ H = \frac{a}{2},\quad \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2} =5 \] Решая уравнение: \[ \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{3} =25 \implies \frac{7a^2}{12} =25 \implies a = \frac{10\sqrt{21}}{7}\ \text{см} \] Ответ: $\frac{10\sqrt{21}}{7}$ см.
5. Двум рабочим поручено изготовить партию деталей. Обозначим производительности $x$ и $y$ (работы за час). Система уравнений: \[ \begin{cases} 2x +3y = \frac{11}{30}\\ 2x +2y = \frac{9}{30} \end{cases} \] Решение системы: \[ x = \frac{1}{12},\quad y = \frac{1}{15} \] Время выполнения работы: \[ t_1 =12\ \text{ч},\ t_2 =15\ \text{ч} \] Ответ: 12 часов и 15 часов.