Лицей им.В.И. Долгих из 9 в 10 класс 2023 год вариант 1

Лицей им.В.И. Долгих

2023 год

1. Найдите значение выражения \[ \frac{x^3 - y^3}{x - y} \cdot \frac{2xy}{(x + y)^2 - xy} \quad \text{при } x = 0{,}25 \text{ и } y = -2{,}5. \]
   
   
2. Найдите сумму квадратов корней уравнения \( 2x^2 + 3x - 1 = 0 \).
   
   
3. При каком значении \( x \) функция \[ f(x) = \frac{2023}{2x^2 + x + 23} \] достигает своего наибольшего значения?
   
   
4. Решите неравенство \( x^2 + 6x - 7 < 0 \).
   
   
5. Найдите наибольшее целое число, не превосходящее значения выражения \[ \sqrt{7 - 4\sqrt{3} \cdot (1 + 2\sqrt{3})} \]
   
   
6. Сумма трёх чисел равна \( \frac{11}{18} \), а сумма обратных им чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 18. Найдите эти числа.
   
   
7. Угловые величины противоположных дуг, высекаемых на окружности пересекающимися хордами, равны \( 45^\circ \) и \( 54^\circ \). Найдите градусную меру угла между этими хордами.
   
   
8. Найдите периметр параллелограмма \( ABCD \), если известны координаты его трёх вершин \( A(1;2) \), \( B(2;5) \) и \( C(6;5) \).
   
   
9. Чип и Дейл одновременно начали решать задачи по математике из одного и того же списка. Чип решает 3 задачи в час, а Дейл — 5 задач в час. Дейл закончил решать последнюю задачу на 2 ч раньше Чипа. Сколько задач в списке?
   
   
10. Предприниматель организовал предприятие, производящее холодный чай с добавлением сока клюквы и облепихи. В начале предприятие производило чай, содержащий 18% сока клюквы. Однако вскоре маркетинговые исследования показали, что потребители в большинстве своём предпочли бы чай с 12\%-ым содержанием клюквенного сока. На сколько процентов увеличится количество производимого чая при тех же объёмах использования клюквенного сока в производстве?
    
    
11. График линейной функции \( y = -\frac{1}{2}x + 3 \) отсекает от первой координатной четверти прямоугольный треугольник \( AOB \). Напишите уравнение прямой, которая отсекает от первой координатной четверти прямоугольный треугольник, подобный треугольнику \( AOB \). Коэффициент подобия равен 3.
    
    
12. Сколько существует четырёхзначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, …, 8, которые в своей десятичной записи содержат две или более одинаковые цифры?

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ \frac{x^3 - y^3}{x - y} \cdot \frac{2xy}{(x + y)^2 - xy} \quad \text{при } x = 0{,}25 \text{ и } y = -2{,}5. \]
   Решение: Упростим выражение: \[ \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{x - y} \cdot \frac{2xy}{x^2 + xy + y^2} = 2xy \] Подставляем значения: \[ 2 \cdot 0{,}25 \cdot (-2{,}5) = -1{,}25 \] Ответ: $-1{,}25$.
   
   
2. Найдите сумму квадратов корней уравнения \( 2x^2 + 3x - 1 = 0 \).
   Решение: По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}, \quad x_1 x_2 = -\frac{1}{2} \] Сумма квадратов: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4} \] Ответ: $\frac{13}{4}$.
   
   
3. При каком значении \( x \) функция \[ f(x) = \frac{2023}{2x^2 + x + 23} \] достигает своего наибольшего значения?
   Решение: Максимум функции достигается при минимуме знаменателя. Квадратичная функция \( 2x^2 + x + 23 \) имеет минимум в вершине: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{4} \] Ответ: $-\frac{1}{4}$.
   
   
4. Решите неравенство \( x^2 + 6x - 7 < 0 \).
   Решение: Найдём корни уравнения \( x^2 + 6x - 7 = 0 \): \[ D = 36 + 28 = 64, \quad x = \frac{-6 \pm 8}{2} \Rightarrow x_1 = 1, \quad x_2 = -7 \] Решение неравенства: \( x \in (-7; 1) \). Ответ: $x \in (-7; 1)$.
   
   
5. Найдите наибольшее целое число, не превосходящее значения выражения \[ \sqrt{7 - 4\sqrt{3} \cdot (1 + 2\sqrt{3})} \]
   Решение: Упростим подкоренное выражение: \[ 4\sqrt{3}(1 + 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} + 24 \Rightarrow 7 - 4\sqrt{3} - 24 = -17 - 4\sqrt{3} \] Выражение под корнем отрицательно, следовательно, действительных решений нет. Предполагая опечатку в условии, рассмотрим альтернативную интерпретацию: \[ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} \cdot (1 + 2\sqrt{3}) \approx 1{,}196 \Rightarrow \text{наибольшее целое: } 1 \] Ответ: $1$.
   
   
6. Сумма трёх чисел равна \( \frac{11}{18} \), а сумма обратных им чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 18. Найдите эти числа.
   Решение: Пусть обратные числа образуют арифметическую прогрессию: \[ \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \Rightarrow \frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}, \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 18 \] Решая систему, находим числа: \[ a = \frac{1}{3}, \quad b = \frac{1}{6}, \quad c = \frac{1}{9} \] Ответ: $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{9}$.
   
   
7. Угловые величины противоположных дуг, высекаемых на окружности пересекающимися хордами, равны \( 45^\circ \) и \( 54^\circ \). Найдите градусную меру угла между этими хордами.
   Решение: Угол между хордами равен полуразности мер дуг: \[ \angle = \frac{54^\circ - 45^\circ}{2} = 4{,}5^\circ \] Ответ: $4{,}5^\circ$.
   
   
8. Найдите периметр параллелограмма \( ABCD \), если известны координаты его трёх вершин \( A(1;2) \), \( B(2;5) \) и \( C(6;5) \).
   Решение: Найдём координаты точки \( D(5;2) \). Длины сторон: \[ AB = \sqrt{(2-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{10}, \quad BC = \sqrt{(6-2)^2 + (5-5)^2} = 4 \] Периметр: \[ 2(\sqrt{10} + 4) = 8 + 2\sqrt{10} \] Ответ: $8 + 2\sqrt{10}$.
   
   
9. Чип и Дейл одновременно начали решать задачи по математике из одного и того же списка. Чип решает 3 задачи в час, а Дейл — 5 задач в час. Дейл закончил решать последнюю задачу на 2 ч раньше Чипа. Сколько задач в списке?
   Решение: Пусть \( N \) — количество задач. Время решения: \[ \frac{N}{3} - \frac{N}{5} = 2 \Rightarrow N = 15 \] Ответ: $15$.
   
   
10. Предприниматель организовал предприятие, производящее холодный чай с добавлением сока клюквы и облепихи. В начале предприятие производило чай, содержащий 18% сока клюквы. Однако вскоре маркетинговые исследования показали, что потребители в большинстве своём предпочли бы чай с 12\%-ым содержанием клюквенного сока. На сколько процентов увеличится количество производимого чая при тех же объёмах использования клюквенного сока в производстве?
    Решение: Пусть \( V_1 \) — исходный объём чая, \( V_2 \) — новый объём: \[ 0{,}18V_1 = 0{,}12V_2 \Rightarrow \frac{V_2}{V_1} = 1{,}5 \Rightarrow \text{увеличение на } 50\% \] Ответ: $50\%$.
    
    
11. График линейной функции \( y = -\frac{1}{2}x + 3 \) отсекает от первой координатной четверти прямоугольный треугольник \( AOB \). Напишите уравнение прямой, которая отсекает от первой координатной четверти прямоугольный треугольник, подобный треугольнику \( AOB \). Коэффициент подобия равен 3.
    Решение: Исходные точки пересечения: \( (6;0) \) и \( (0;3) \). Новые точки: \[ (18;0) \text{ и } (0;9) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + 9 \] Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + 9$.
    
    
12. Сколько существует четырёхзначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, …, 8, которые в своей десятичной записи содержат две или более одинаковые цифру?
    Решение: Общее количество чисел: \( 8^4 = 4096 \). Количество чисел без повторений: \( 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680 \). Искомое количество: \[ 4096 - 1680 = 2416 \] Ответ: $2416$.