8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей им.В.И. Долгих из 8 в 9 класс 2023 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2023
Сложность:
Дата экзамена: 2023
youit.school ©

Лицей им.В.И. Долгих

2023 год



  1. Найдите ближайшее к значению выражения \( \left(20{,}22 - 3{,}14 \cdot \frac{20}{23}\right) : \frac{1}{100} \) целое число.

  2. Числа \( a \) и \( b \) таковы, что \( a^2 > b^2 \). Найдите сумму номеров верных утверждений для всех таких \( a \) и \( b \):

    1. \( a > b \);
    2. \( |a| > |b| \);
    3. \( a^3 > b^3 \);
    4. \( (a - b)^2 > 0 \).


  3. Найдите значение выражения \( \frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 - 4} - \frac{a + 2}{a^3 + b^3} \) при \( a = 2, b = 0{,}4 \).

  4. Найдите значение синуса большего острого угла прямоугольного треугольника, катеты которого равны 5 и 12.

  5. Найдите произведение корней уравнения \( \sqrt{13x^2 + \sqrt{2023x} - \sqrt{832}} = 0 \).

  6. Найдите сумму квадратов корней уравнения \( 4x^2 + 3x - 2 = 0 \).

  7. Вычислите \( \sqrt{2021 \cdot 2023 + 1} \).

  8. Найдите модуль разности абсцисс точек пересечения прямой \( y = 2x - 1 \) и параболы \( y = x^2 - 3 \).

  9. В параллелограмме \( ABCD \) диагональ \( AC \) в два раза больше стороны \( AB \) и угол \( \angle ACD \) равен \( 56^\circ \). Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ запишите в градусах.

  10. Укажите номера решений неравенства \( \frac{1}{x - 2} < \frac{2 - x}{x^2 - 4} \):

    \[ \text{1) } x = -1 \quad \text{2) } x = 0 \quad \text{3) } x = 1 \quad \text{4) } x = 2 \quad \text{5) } x = 3 \]

  11. График линейной функции \( y = -\frac{1}{2}x + 3 \) отсекает от первой координатной четверти прямоугольный треугольник \( AOB \). Напишите уравнение какой-либо прямой, которая отсекает от второй координатной четверти треугольник, равный треугольнику \( AOB \).

  12. В записи разделили все пятизначные числа на две большие группы. В первую группу попали все, в запись которых есть цифра 5, а во вторую — остальные. В какой группе чисел больше?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите ближайшее к значению выражения \( \left(20{,}22 - 3{,}14 \cdot \frac{20}{23}\right) : \frac{1}{100} \) целое число.
    Решение: \[ 3{,}14 \cdot \frac{20}{23} \approx 2{,}73 \quad \Rightarrow \quad 20{,}22 - 2{,}73 = 17{,}49 \quad \Rightarrow \quad 17{,}49 \cdot 100 = 1749 \] Ответ: 1749.

  2. Числа \( a \) и \( b \) таковы, что \( a^2 > b^2 \). Найдите сумму номеров верных утверждений для всех таких \( a \) и \( b \):
    1. \( a > b \);
    2. \( |a| > |b| \);
    3. \( a^3 > b^3 \);
    4. \( (a - b)^2 > 0 \).

    Решение:
    • Утверждение 2 верно (из \( a^2 > b^2 \)).
    • Утверждение 4 верно (квадрат разности всегда неотрицателен, равен нулю только при \( a = b \), что исключено условием).
    Сумма верных номеров: \( 2 + 4 = 6 \).
    Ответ: 6.

  3. Найдите значение выражения \( \frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 - 4} - \frac{a + 2}{a^3 + b^3} \) при \( a = 2, b = 0{,}4 \).
    Решение: При \( a = 2 \) знаменатель \( a^2 - 4 = 0 \), что делает выражение неопределённым.
    Ответ: Выражение не определено.

  4. Найдите значение синуса большего острого угла прямоугольного треугольника, катеты которого равны 5 и 12.
    Решение: Гипотенуза: \( \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 \). Больший угол противолежит катету 12: \[ \sin \alpha = \frac{12}{13} \] Ответ: \( \frac{12}{13} \).

  5. Найдите произведение корней уравнения \( \sqrt{13x^2 + \sqrt{2023x} - \sqrt{832}} = 0 \).
    Решение: Уравнение эквивалентно: \[ 13x^2 + \sqrt{2023x} - \sqrt{832} = 0 \] Произведение корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) равно \( \frac{c}{a} \): \[ \text{Произведение} = \frac{-\sqrt{832}}{13} \] Ответ: \( -\frac{\sqrt{832}}{13} \).

  6. Найдите сумму квадратов корней уравнения \( 4x^2 + 3x - 2 = 0 \).
    Решение: По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{3}{4}, \quad x_1 x_2 = -\frac{1}{2} \] Сумма квадратов: \[ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{16} + 1 = \frac{25}{16} \] Ответ: \( \frac{25}{16} \).

  7. Вычислите \( \sqrt{2021 \cdot 2023 + 1} \).
    Решение: \[ 2021 \cdot 2023 = (2022 - 1)(2022 + 1) = 2022^2 - 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{2022^2 - 1 + 1} = 2022 \] Ответ: 2022.

  8. Найдите модуль разности абсцисс точек пересечения прямой \( y = 2x - 1 \) и параболы \( y = x^2 - 3 \).
    Решение: \[ 2x - 1 = x^2 - 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2x - 2 = 0 \] Корни: \( x = 1 \pm \sqrt{3} \). Разность: \[ |(1 + \sqrt{3}) - (1 - \sqrt{3})| = 2\sqrt{3} \] Ответ: \( 2\sqrt{3} \).

  9. В параллелограмме \( ABCD \) диагональ \( AC \) в два раза больше стороны \( AB \) и угол \( \angle ACD \) равен \( 56^\circ \). Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма.
    Решение: Треугольник \( OCD \) равнобедренный (\( OC = CD \)), угол \( \angle COD = 180^\circ - 2 \cdot 56^\circ = 68^\circ \).
    Ответ: 68.

  10. Укажите номера решений неравенства \( \frac{1}{x - 2} < \frac{2 - x}{x^2 - 4} \):
    Решение: После преобразований: \[ \frac{2x}{(x - 2)(x + 2)} < 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; -2) \cup (0; 2) \] Из предложенных значений подходит только \( x = 1 \).
    Ответ: 3.

  11. Напишите уравнение прямой, которая отсекает от второй координатной четверти треугольник, равный треугольнику \( AOB \).
    Решение: Исходный треугольник имеет катеты 6 и 3. Прямая \( y = \frac{1}{2}x + 3 \) пересекает оси в точках \( (-6; 0) \) и \( (0; 3) \), образуя равный треугольник.
    Ответ: \( y = \frac{1}{2}x + 3 \).

  12. В какой группе чисел больше: с цифрой 5 или без?
    Решение: Всего пятизначных чисел: 90000. Без цифры 5: \( 8 \cdot 9^4 = 52488 \). С цифрой 5: \( 90000 - 52488 = 37512 \).
    Ответ: Во второй группе (без цифры 5).
Материалы школы Юайти