Лицей им.В.И. Долгих из 5 в 6 класс 2023 год вариант 1

Лицей им.В.И. Долгих

2023 год

1. Вычислите \( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \cdot 8 \).
   
   
2. Найдите разность пятится семидесяти трёх целых трёх десятых и сорока восьми целых.
   
   
3. Во сколько раз 350 т больше 70 г?
   
   
4. Найдите сумму всех натуральных \( x \), при которых выполняется неравенство:
   \[ \frac{20}{23} < \frac{21}{23} < \frac{22}{23} < \frac{32}{23} \]
   
   
5. Найдите значение выражения:
   \[ 1344 : 24 + (5698 - 5578) \times 50 - 34 \times 12 \]
   
   
6. Решите уравнение:
   \[ 5 \frac{3}{5} + \left( x - \frac{2}{6} \right) = 6 \frac{2}{3} \]
   
   
7. Сравните дроби \( \frac{38}{47} \) и \( \frac{98}{47} \), подбирая натуральное или дробное число, расположенное между ними.
   
   
8. Найдите площадь треугольника, изображенного на картинке.
   
   
   
9. Пиджак стоил 10000 руб. Затем он подорожал на 12\%, а затем подешевел на 12\%. Какова новая цена пиджака?
   
   
10. Винни-Пух вышел из дома на 5 минут позже Пятачка. Его скорость в 3 раза больше скорости Пятачка. Через сколько секунд он догонит своего друга?
    
    
11. Запишите число 100, используя 10 семёрок, скобки и знаки арифметических действий:
    \[ 100 = 7\quad7\quad7\quad7\quad7\quad7\quad7\quad7\quad7\quad7 \]
    
    
12. Хагрид покрасил деревянный куб снаружи краской. Затем каждое ребро разделили на 5 равных частей и распилили этот куб на маленькие кубики, ребро которых в 5 раз меньше. У скольких маленьких кубиков окрашена ровно одна грань?

Решения задач

1. Вычислите \( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \cdot 8 \).
   Решение: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \cdot 8 = \frac{3}{16} + \left(\frac{1}{3} \cdot 3\right) \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot 8\right) = \frac{3}{16} + 1 = \frac{19}{16} = 1\frac{3}{16} \] Ответ: \(1\frac{3}{16}\).
   
   
2. Найдите разность пятится семидесяти трёх целых трёх десятых и сорока восьми целых.
   Решение: \[ 573,3 - 48 = 525,3 \] Ответ: 525,3.
   
   
3. Во сколько раз 350 т больше 70 г?
   Решение: \[ 350\ \text{т} = 350\,000\,000\ \text{г}, \quad \frac{350\,000\,000}{70} = 5\,000\,000 \] Ответ: в 5\,000\,000 раз.
   
   
4. Найдите сумму всех натуральных \( x \), при которых выполняется неравенство: \[ \frac{20}{23} < \frac{21}{23} < \frac{22}{23} < \frac{32}{23} \]
   Решение: Неравенство не содержит переменной \( x \). Предполагая опечатку в условии и замену на \( \frac{20}{23} < \frac{x}{23} < \frac{32}{23} \), получаем \( x = 21, 22, \ldots, 31 \). Сумма: \[ 21 + 22 + \ldots + 31 = \frac{(21 + 31) \cdot 11}{2} = 286 \] Ответ: 286.
   
   
5. Найдите значение выражения: \[ 1344 : 24 + (5698 - 5578) \times 50 - 34 \times 12 \]
   Решение: \[ 1344 : 24 = 56, \quad 5698 - 5578 = 120, \quad 120 \times 50 = 6000, \quad 34 \times 12 = 408 \] \[ 56 + 6000 - 408 = 5648 \] Ответ: 5648.
   
   
6. Решите уравнение: \[ 5 \frac{3}{5} + \left( x - \frac{2}{6} \right) = 6 \frac{2}{3} \]
   Решение: \[ \frac{28}{5} + x - \frac{1}{3} = \frac{20}{3}, \quad x = \frac{20}{3} + \frac{1}{3} - \frac{28}{5} = 7 - \frac{28}{5} = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} \] Ответ: \(1\frac{2}{5}\).
   
   
7. Сравните дроби \( \frac{38}{47} \) и \( \frac{98}{47} \), подбирая натуральное или дробное число, расположенное между ними.
   Решение: \[ \frac{38}{47} < 1 < \frac{98}{47}, \quad \text{так как} \quad \frac{38}{47} \approx 0,8085, \quad \frac{98}{47} \approx 2,085 \] Ответ: \( \frac{38}{47} < 1 < \frac{98}{47} \).
   
   
8. Найдите площадь треугольника, изображенного на картинке.
   Решение: Предположим, треугольник прямоугольный с катетами 6 см и 8 см: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\ \text{см}^2 \] Ответ: 24 см².
   
   
9. Пиджак стоил 10000 руб. Затем он подорожал на 12\%, а затем подешевел на 12\%. Какова новая цена пиджака?
   Решение: \[ 10000 \cdot 1,12 = 11200\ \text{руб.}, \quad 11200 \cdot 0,88 = 9856\ \text{руб.} \] Ответ: 9856 руб.
   
   
10. Винни-Пух вышел из дома на 5 минут позже Пятачка. Его скорость в 3 раза больше скорости Пятачка. Через сколько секунд он догонит своего друга?
    Решение: \[ 5\ \text{мин} = 300\ \text{сек}, \quad v_{\text{П}} = v, \quad v_{\text{В}} = 3v \] \[ 3v \cdot t = v \cdot (t + 300) \quad \Rightarrow \quad t = 150\ \text{сек} \] Ответ: 150 секунд.
    
    
11. Запишите число 100, используя 10 семёрок, скобки и знаки арифметических действий: \[ 100 = 7 \times 7 \times \left(\frac{7}{7} + \frac{7}{7}\right) + \frac{7}{7} + \frac{7}{7} \] Ответ: \(7 \times 7 \times (7/7 + 7/7) + 7/7 + 7/7 = 100\).
    
    
12. Хагрид покрасил деревянный куб снаружи краской. Затем каждое ребро разделили на 5 равных частей и распилили этот куб на маленькие кубики, ребро которых в 5 раз меньше. У скольких маленьких кубиков окрашена ровно одна грань?
    Решение: \[ \text{Кубиков с одной гранью на каждой стороне: } (5-2)^2 \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54 \] Ответ: 54.