Лицей им.В.И. Долгих из 10 в 11 класс 2023 год вариант 1

Лицей им.В.И. Долгих

2023 год

1. Вычислите \[ \left( \frac{4^{2\sqrt{\pi}+1} : 8\sqrt{\pi+2}}{\sqrt{\pi}+4} \right). \]
   
   
2. Найдите наибольшее целое число, не превосходящее значения выражения \[ \sqrt{7 - 4\sqrt{3} \cdot (1 + 2\sqrt{3})}. \]
   
   
3. Найдите значение \( a \), при котором график функции \[ f(x) = \frac{a^2 + a + 1}{x - \frac{a}{a}} \] проходит через точку \( A(0;1) \).
   
   
4. Решите неравенство \( x^2 \cdot (|x - 1| - 4) < 0 \).
   
   
5. Найдите \( \sin\left( \frac{5\pi}{2} + 2\alpha \right) \), если \( \tan \alpha = -\frac{3}{4} \).
   
   
6. Решите уравнение \( 2 \cdot 4^{3x} - 5 \cdot 8^x + 2 = 0 \).
   
   
7. Найдите сумму целых решений неравенства \( \log_2(x - 3) < 1 \).
   
   
8. Дан куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Найдите угол между прямыми \( CA_1 \) и \( BC_1 \).
   
   
9. Дан правильный тетраэдр \( ABCD \) с ребром 1. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через середину ребра \( AD \), параллельно плоскости \( ABC \).
   
   
10. Моторная лодка прошла 24 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.
    
    
11. Решите уравнение \( \sqrt{6} \sin x = 2 \cos x \) и найдите все корни, принадлежащие отрезку \( [-3\pi; -\pi] \).
    
    
12. Пусть \( f(x) \) — чётная периодическая функция с основным периодом 2. Известно, что \( f(x) = 1 - x \) для всех \( x \in [0; 1] \). Решите уравнение \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \).

Решения задач

1. Вычислите \[ \left( \frac{4^{2\sqrt{\pi}+1} : 8\sqrt{\pi+2}}{\sqrt{\pi}+4} \right). \]
   Решение: В условии задачи, вероятно, допущена опечатка или неверная формулировка выражения. Представленное выражение содержит неопределённые элементы (например, операция деления без правой части дроби). Для корректного решения требуется уточнение условия.
   Ответ: $\boxed{\text{Требуется уточнение условия}}$.
   
   
2. Найдите наибольшее целое число, не превосходящее значения выражения \[ \sqrt{7 - 4\sqrt{3} \cdot (1 + 2\sqrt{3})}. \]
   Решение: Упростим подкоренное выражение: \[ 7 - 4\sqrt{3}(1 + 2\sqrt{3}) = 7 - 4\sqrt{3} - 24 = -17 - 4\sqrt{3}. \] Поскольку выражение под корнем отрицательно, действительных решений нет.
   Ответ: $\boxed{\text{Нет решения}}$.
   
   
3. Найдите значение \( a \), при котором график функции \[ f(x) = \frac{a^2 + a + 1}{x - \frac{a}{a}} \] проходит через точку \( A(0;1) \).
   Решение: Упростим знаменатель при \( a \neq 0 \): \[ \frac{a}{a} = 1 \implies f(x) = \frac{a^2 + a + 1}{x - 1}. \] Подставим точку \( A(0;1) \): \[ 1 = \frac{a^2 + a + 1}{-1} \implies a^2 + a + 1 = -1 \implies a^2 + a + 2 = 0. \] Дискриминант \( D = 1 - 8 = -7 \), действительных корней нет.
   Ответ: $\boxed{\text{Нет решения}}$.
   
   
4. Решите неравенство \( x^2 \cdot (|x - 1| - 4) < 0 \).
   Решение: Рассмотрим множители: \[ x^2 \geq 0, \quad |x - 1| - 4 < 0 \implies |x - 1| < 4 \implies -3 < x < 5. \] Исключим \( x = 0 \), так как \( x^2 = 0 \).
   Ответ: $\boxed{(-3; 0) \cup (0; 5)}$.
   
   
5. Найдите \( \sin\left( \frac{5\pi}{2} + 2\alpha \right) \), если \( \tan \alpha = -\frac{3}{4} \).
   Решение: Используем формулу приведения и тригонометрические тождества: \[ \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 2\alpha\right) = \cos(2\alpha). \] Выразим \( \cos(2\alpha) \) через \( \tan\alpha \): \[ \cos(2\alpha) = \frac{1 - \tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha} = \frac{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2}{1 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{7}{25}. \] Ответ: $\boxed{\dfrac{7}{25}}$.
   
   
6. Решите уравнение \( 2 \cdot 4^{3x} - 5 \cdot 8^x + 2 = 0 \).
   Решение: Приведём к основанию 2: \[ 2 \cdot 2^{6x} - 5 \cdot 2^{3x} + 2 = 0 \implies 2t^2 - 5t + 2 = 0 \quad (t = 2^{3x}). \] Корни: \( t = 2 \) и \( t = \frac{1}{2} \). Обратная замена: \[ 2^{3x} = 2 \implies x = \frac{1}{3}; \quad 2^{3x} = \frac{1}{2} \implies x = -\frac{1}{3}. \] Ответ: $\boxed{-\dfrac{1}{3}}$, $\boxed{\dfrac{1}{3}}$.
   
   
7. Найдите сумму целых решений неравенства \( \log_2(x - 3) < 1 \).
   Решение: Область определения: \( x > 3 \). Решение неравенства: \[ \log_2(x - 3) < 1 \implies 3 < x < 5. \] Единственное целое решение: \( x = 4 \).
   Ответ: $\boxed{4}$.
   
   
8. Дан куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Найдите угол между прямыми \( CA_1 \) и \( BC_1 \).
   Решение: Векторы \( \overrightarrow{CA_1} = (1, 0, 1) \) и \( \overrightarrow{BC_1} = (-1, 0, 1) \). Скалярное произведение: \[ \overrightarrow{CA_1} \cdot \overrightarrow{BC_1} = -1 + 0 + 1 = 0 \implies \text{угол } 90^\circ. \] Ответ: $\boxed{90^\circ}$.
   
   
9. Дан правильный тетраэдр \( ABCD \) с ребром 1. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через середину ребра \( AD \), параллельно плоскости \( ABC \).
   Решение: Сечение — треугольник, подобный \( ABC \) с коэффициентом \( \frac{1}{2} \). Площадь: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \boxed{\dfrac{\sqrt{3}}{16}}. \]
   
   
10. Моторная лодка прошла 24 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.
    Решение: Пусть \( x \) — скорость лодки. Уравнение времени: \[ \frac{24}{x + 2} + \frac{24}{x - 2} = 5 \implies 5x^2 - 48x - 20 = 0. \] Корень \( x = 10 \).
    Ответ: $\boxed{10}$.
    
    
11. Решите уравнение \( \sqrt{6} \sin x = 2 \cos x \) и найдите все корни, принадлежащие отрезку \( [-3\pi; -\pi] \).
    Решение: Приведём к виду \( \tan x = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \). Общее решение: \[ x = \arctan\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) + \pi k. \] В указанном отрезке: \( x = -2\pi + \arctan\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \) и \( x = -3\pi + \arctan\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \).
    Ответ: $\boxed{-3\pi + \arctan\left(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)}$, $\boxed{-2\pi + \arctan\left(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)}$.
    
    
12. Пусть \( f(x) \) — чётная периодическая функция с основным периодом 2. Известно, что \( f(x) = 1 - x \) для всех \( x \in [0; 1] \). Решите уравнение \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \).
    Решение: Учитывая чётность и периодичность, решениями являются \( x = 1 + 2k \) (\( k \in \mathbb{Z} \)). Проверка: \[ f(1) = 0 = 1^2 - 4 \cdot 1 + 3, \quad f(3) = 0 = 3^2 - 4 \cdot 3 + 3. \] Ответ: $\boxed{1 + 2k \quad (k \in \mathbb{Z})}$.